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chapitre XVII. — champ de gravitation et champ électromagnétique.
De même
![{\displaystyle 2\varphi _{\mu \sigma ,\nu }={\frac {\partial g_{\mu \sigma }}{\partial x_{\nu }}}-\Gamma _{\nu \mu ,\sigma }-\Gamma _{\nu \sigma ,\mu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6008181a4de7db83c9262c71d15a3763e5e0294e)
![{\displaystyle 2\varphi _{\nu \sigma ,\mu }={\frac {\partial g_{\nu \sigma }}{\partial x_{\mu }}}-\Gamma _{\mu \nu ,\sigma }-\Gamma _{\mu \sigma ,\nu }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad94d32dd9522e166f1f5c628448e8c798959321)
De ces trois dernières équations on déduit
étant symétrique en
et ![{\displaystyle \beta {\big )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee4c67a06e4d22b7a589316d2cd5e836051de3b8)
(19-18)
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Posons
(20-18)
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est un tenseur symétrique en
et
nous obtenons
(21-18)
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et, en posant
(22-18)
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(23-18)
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Le symbole de Christoffel généralisé
ou
est invariant à l’égard du système de jauges, car les
ont été introduits sans que ce système intervienne (9-18). Au contraire le tenseur
n’est pas absolu, car
dépend de la jauge.
Si nous prenons pour
le produit de
par un vecteur, nous obtenons la géométrie de Weyl, mais, avec Eddington, nous supprimons cette restriction.
Nous pouvons maintenant, d’après (23-18), exprimer le tenseur de Riemann-Christoffel généralisé
![{\displaystyle {\begin{aligned}{}^{\star \!}\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }={}&\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }+{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\mathrm {S} _{\mu \sigma }^{\rho }-{\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}\mathrm {S} _{\mu \nu }^{\rho }+{\begin{Bmatrix}\mu \sigma \\\alpha \\\end{Bmatrix}}\mathrm {S} _{\nu \alpha }^{\rho }+{\begin{Bmatrix}\nu \alpha \\\rho \\\end{Bmatrix}}\mathrm {S} _{\mu \sigma }^{\alpha }\\&-{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\alpha \\\end{Bmatrix}}\mathrm {S} _{\sigma \alpha }^{\rho }-{\begin{Bmatrix}\sigma \alpha \\\rho \\\end{Bmatrix}}\mathrm {S} _{\mu \nu }^{\alpha }+\mathrm {S} _{\nu \alpha }^{\rho }\mathrm {S} _{\mu \sigma }^{\alpha }-\mathrm {S} _{\sigma \alpha }^{\rho }\mathrm {S} _{\mu \nu }^{\alpha }.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baf8ebe0e7cba4b179aa9e81a59929dc78b7abc6)
Les six termes qui suivent
se réduisent à la différence des
dérivées covariantes
et
on a donc
(24-18)
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