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chapitre XVII. — champ de gravitation et champ électromagnétique.

De même

$2\varphi _{\mu \sigma ,\nu }={\frac {\partial g_{\mu \sigma }}{\partial x_{\nu }}}-\Gamma _{\nu \mu ,\sigma }-\Gamma _{\nu \sigma ,\mu },$

$2\varphi _{\nu \sigma ,\mu }={\frac {\partial g_{\nu \sigma }}{\partial x_{\mu }}}-\Gamma _{\mu \nu ,\sigma }-\Gamma _{\mu \sigma ,\nu }.$

De ces trois dernières équations on déduit ${\big (}\Gamma _{\alpha \beta ,\gamma }$ étant symétrique en $\alpha$ et $\beta {\big )}$

(19-18)

$\;\Gamma _{\mu \nu ,\sigma }={\frac {1}{2}}\left(\!{\frac {\partial g_{\mu \sigma }}{\partial x_{\nu }}}+{\frac {\partial g_{\nu \sigma }}{\partial x_{\mu }}}-{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}\!\right)-\varphi _{\mu \sigma ,\nu }-\varphi _{\nu \sigma ,\mu }+\varphi _{\mu \nu ,\sigma }.$

Posons

(20-18)

$\mathrm {S} _{\mu \nu ,\sigma }=\varphi _{\mu \nu ,\sigma }-\varphi _{\mu \sigma ,\nu }-\varphi _{\nu \sigma ,\mu }.$

$\mathrm {S}$ est un tenseur symétrique en $\mu$ et $\nu \,;$ nous obtenons

(21-18)

$\Gamma _{\mu \nu ,\sigma }={\begin{bmatrix}\mu \nu \\\sigma \\\end{bmatrix}}+\mathrm {S} _{\mu \nu ,\sigma },$

et, en posant

(22-18)

$\mathrm {S} _{\mu \nu ,\sigma }=g_{\sigma \tau }\mathrm {S} _{\mu \nu }^{\tau },$

(23-18)

$\Gamma _{\mu \nu }^{\tau }={\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\tau \\\end{Bmatrix}}+\mathrm {S} _{\mu \nu }^{\tau }={\begin{array}{r}{}^{\star }\\[1ex]\\\end{array}}\!\!{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\tau \\\end{Bmatrix}}\cdot$

Le symbole de Christoffel généralisé $\Gamma _{\mu \nu }^{\tau }$ ou ${\begin{array}{r}{}^{\star }\\[1ex]\\\end{array}}\!\!{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\tau \\\end{Bmatrix}}$ est invariant à l’égard du système de jauges, car les $\Gamma$ ont été introduits sans que ce système intervienne (9-18). Au contraire le tenseur $\varphi _{\mu \nu ,\sigma }$ n’est pas absolu, car $d(l^{2})$ dépend de la jauge.

Si nous prenons pour $\varphi _{\mu \nu ,\sigma }$ le produit de $g_{\mu \nu }$ par un vecteur, nous obtenons la géométrie de Weyl, mais, avec Eddington, nous supprimons cette restriction.

Nous pouvons maintenant, d’après (23-18), exprimer le tenseur de Riemann-Christoffel généralisé

${\begin{aligned}{}^{\star \!}\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }={}&\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }+{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\mathrm {S} _{\mu \sigma }^{\rho }-{\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}\mathrm {S} _{\mu \nu }^{\rho }+{\begin{Bmatrix}\mu \sigma \\\alpha \\\end{Bmatrix}}\mathrm {S} _{\nu \alpha }^{\rho }+{\begin{Bmatrix}\nu \alpha \\\rho \\\end{Bmatrix}}\mathrm {S} _{\mu \sigma }^{\alpha }\\&-{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\alpha \\\end{Bmatrix}}\mathrm {S} _{\sigma \alpha }^{\rho }-{\begin{Bmatrix}\sigma \alpha \\\rho \\\end{Bmatrix}}\mathrm {S} _{\mu \nu }^{\alpha }+\mathrm {S} _{\nu \alpha }^{\rho }\mathrm {S} _{\mu \sigma }^{\alpha }-\mathrm {S} _{\sigma \alpha }^{\rho }\mathrm {S} _{\mu \nu }^{\alpha }.\end{aligned}}$

Les six termes qui suivent $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }$ se réduisent à la différence des dérivées covariantes $\left(\mathrm {S} _{\mu \sigma }^{\rho }\right)_{\!\nu }$ et $\left(\mathrm {S} _{\mu \nu }^{\rho }\right)_{\!\sigma },$ on a donc

(24-18)

${}^{\star \!}\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }=\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }+\left(\mathrm {S} _{\mu \sigma }^{\rho }\right)_{\!\nu }-\left(\mathrm {S} _{\mu \nu }^{\rho }\right)_{\!\sigma }+\mathrm {S} _{\nu \alpha }^{\rho }\mathrm {S} _{\mu \sigma }^{\alpha }-\mathrm {S} _{\sigma \alpha }^{\rho }\mathrm {S} _{\mu \nu }^{\alpha }.$