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deuxième partie. — la relativité généralisée.

est de dimension 1 ; le tenseur des $g^{\mu \nu }$ multiplié par $n^{-1}:$ il est de dimension −1 ; le déterminant $g,$ multiplié par $n^{4}$ est de dimension 4, etc. Quand on fait passer un indice de bas en haut ou de haut en bas, on diminue ou l’on augmente d’une unité la dimension d’un tenseur.

Ainsi, un tenseur a pour dimension l’exposant de la puissance de $n$ par laquelle il est multiplié dans un changement de toutes les jauges, celles-ci étant divisées par ${\sqrt {n}}.$ Les tenseurs absolus sont de dimension zéro ; les tenseurs dont la dimension n’est pas nulle sont appelés co-tenseurs.

Les tenseurs

${}^{\star \!}\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho },\quad {}^{\star \!}\mathrm {R} _{\mu \nu }\quad \mathrm {B} _{\mu \nu },\quad \mathrm {F} _{\mu \nu }$

sont, comme nous l’avons vu, des tenseurs absolus.

Les tenseurs

${}^{\star \!}\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho },\quad \mathrm {B} _{\mu \nu \sigma \rho },\quad \mathrm {F} _{\mu \nu \sigma \rho }$

sont des co-tenseurs de dimension +1.

Invariants absolus et co-invariants. — On distingue de même les invariants absolus, indépendants de tout système de jauges (dimension zéro), et les co-invariants dont la dimension est représentée par l’exposant de la puissance de $n$ par laquelle il faut les multiplier quand les jauges unités sont divisées par ${\sqrt {n}}.$

Proposons-nous de chercher les invariants absolus.

Il n’existe pas de fonction invariante absolue des potentiels, mais on peut trouver des densités invariantes absolues.

${\sqrt {-g}}$ est de dimension +2 ; par conséquent en multipliant ${\sqrt {-g}}$ par des co-invariants de dimension −2 nous formons des densités invariantes de dimension zéro, c’est-à-dire indépendantes du système de jauges. Les expressions suivantes sont donc des densités invariantes absolues :

$({}^{\star \!}\mathrm {R} )^{2}{\sqrt {-g}}\,;\quad {}^{\star \!}\mathrm {R} _{\mu \nu }{}^{\star \!}\mathrm {R} ^{\mu \nu }{\sqrt {-g}},\quad {}^{\star \!}\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }{}^{\star \!}\mathrm {R} _{\rho }^{\mu \nu \sigma }{\sqrt {-g}},\quad \mathrm {F} _{\mu \nu }\mathrm {F} ^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}.$

Il existe deux autres densités invariantes absolues basées sur le tenseur fondamental du sixième ordre ; elles sont d’ailleurs identiques entre elles :

$g^{\alpha \beta }\left({}^{\star \!}\mathrm {R} \right)_{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,;\qquad g^{\mu \beta }g^{\nu \alpha }\left({}^{\star \!}\mathrm {R} _{\mu \nu }\right)_{\alpha \beta }{\sqrt {-g}},$