Page:Becquerel - Le Principe de relativité et la théorie de la gravitation, 1922.djvu/341

321

chapitre XVIII. — champ de gravitation et champ électromagnétique.

$\mathrm {B} _{\mu \nu \sigma \rho }$ étant symétrique gauche et $\mathrm {F} _{\mu \nu \sigma \rho }$ symétrique en $\mu$ et $\rho \,;$ ils sont tous deux symétriques gauches en $\nu$ et $\sigma .$

La variation d’un vecteur se trouve ainsi mise sous la forme précédemment donnée (3-18), et si $l$ est la longueur généralisée du vecteur, on a, par déplacement parallèle le long d’un contour infiniment petit limitant l’élément de surface $d\mathrm {S} ^{\nu \sigma },$ l’équation (4-18)

$2\,l\,dl=\mathrm {F} _{\mu \nu \sigma \rho }\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {A} ^{\rho }d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }.$

On peut vérifier que

(34-18)

$\mathrm {F} _{\mu \nu \sigma \rho }=\left(\varphi _{\mu \rho ,\nu }\right)_{\sigma }-\left(\varphi _{\mu \rho ,\sigma }\right)_{\nu }.$

On doit remarquer que ni ${}^{\star \!}\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho },$ ni $\mathrm {B} _{\mu \nu \sigma \rho },$ ni $\mathrm {F} _{\mu \nu \sigma \rho }$ ne sont des tenseurs absolus, car les $g_{\mu \nu }$ doivent intervenir pour abaisser l’indice $\rho .$ Le scalaire ${}^{\star \!}\mathrm {R}$ n’est pas non plus un invariant absolu.

Tenseurs absolus et co-tenseurs. — On voit, par ce qui précède, qu’il faut distinguer les tenseurs absolus indépendants de tout système de jauges et les tenseurs qui varient avec les jauges (pour un même système de coordonnées, c’est-à-dire pour une même division de l’Espace-Temps en cellules quadridimensionnelles).

Supposons qu’on ait adopté un système de coordonnées (rappelons que les $x_{\mu }$ sont des nombres purs) et un système de jauges ; nous avons, comme dans la théorie d’Einstein (d’après la définition 15-18).

$ds^{2}=g_{\mu \nu }\,dx_{\mu }\,dx_{\nu }.$

Conservant la même division en cellules (le même système de coordonnées), changeons maintenant le système de jauges, et à cet effet divisons l’unité d’intervalle en chaque point d’Univers par une fonction de point (arbitraire) ${\sqrt {n}}\,;$ le nombre exprimant $ds^{2}$ est multiplié par $n.$ En accentuant les quantités mesurées avec les nouvelles jauges, nous avons

$ds'^{2}=g'_{\mu \nu }\,dx_{\mu }\,dx_{\nu }=n\,ds^{2}=n\,g_{\mu \nu }\,dx_{\mu }\,dx_{\nu }.$

D’où

$g'_{\mu \nu }=n\,g_{\mu \nu },\qquad g'^{\mu \nu }=n^{-1}g_{\mu \nu },\qquad g'=n^{4}g.$

Le tenseur des $g_{\mu \nu }$ est donc multiplié par $n,$ nous dirons qu’il

BECQUEREL.

21