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chapitre XVIII. — champ de gravitation et champ électromagnétique.

il y a peut-être encore une autre densité invariante absolue dérivée de ${}^{\star \!}\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho \alpha \beta }.$

Ainsi le nombre des caractères d’Univers distincts dont les combinaisons peuvent s’exprimer par des nombres purs, indépendants de tout système de coordonnées et de jauges, est très restreint et ne paraît pas dépasser 6.

Weyl a fait remarquer que c’est seulement dans un Univers à nombre pair de dimensions^[1] que les tenseurs fondamentaux donnent naissance à des densités invariantes absolues. Un invariant a, en effet, toujours une dimension représentée par un nombre entier ; or une densité invariante absolue s’obtient en multipliant une puissance convenable de l’invariant par ${\sqrt {-g}}\,;$ ${\sqrt {-g}}$ ayant pour dimension ${\frac {p}{2}}$ dans un Univers à $p$ dimensions, le produit obtenu ne pourra être de dimension zéro que si $p$ est pair.

Un Univers à nombre impair de dimensions n’aurait aucun caractère absolu et nous ne saurions l’imaginer.

En plus des densités invariantes absolues, qui sont des caractéristiques absolues de l’Univers en chaque point, nous pouvons former un invariant absolu simple lié à un déplacement $\mathrm {A} ^{\mu }$ (dimension zéro) :

(35-18)

${}^{\star \!}\mathrm {R} _{\mu \nu }\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {A} ^{\nu }.$

Après celui-ci, l’invariant le moins compliqué est

${}^{\star \!}\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }\,{}^{\star \!}\mathrm {R} _{\lambda \tau \rho }^{\sigma }\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {A} ^{\nu }\mathrm {A} ^{\lambda }\mathrm {A} ^{\tau }.$

Sans doute, d’autres combinaisons pourraient être imaginées, mais elles seraient très compliquées.

118. Théorie physique de l’Univers. Identification physique des tenseurs, vecteurs et invariants de la théorie géométrique (Eddington).

Le système de jauges naturel. — Soit $\mathrm {A} ^{\mu }$ un déplacement infi-

1. Il est à peine besoin de faire remarquer que le mot « dimension » est employé dans deux sens absolument différents selon qu’il s’agit des dimensions de l’Univers ou de ce qui vient d’être appelé dimension d’un tenseur.