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deuxième partie. — la relativité généralisée.

niment petit en un point d’Univers ; c’est un nombre pur (dimension zéro), et nous avons défini sa longueur par

$l^{2}=g_{\mu \nu }\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {A} ^{\nu }\qquad$ (dimension 1),

mais cette longueur n’est invariante que par rapport au système de coordonnées.

Si nous voulons que les $g_{\mu \nu }$ ne soient pas quelconques, qu’ils se trouvent contenus dans la géométrie de l’Univers, en d’autres termes que la longueur cesse d’être une convention géométrique pour devenir une entité physique, il faut que $l^{2}$ soit un invariant absolu.

Autrement dit : le minimum d’hypothèses qu’on puisse faire sur la structure d’Univers est qu’il existe des éléments objectifs (intervalles) indépendants de ceux qui peuvent les observer (indépendants du système de coordonnées-jauges). Il est donc naturel de chercher à représenter ces éléments absolus par des invariants absolus ; dès lors, le carré de l’intervalle $ds^{2}=g_{\mu \nu }\,dx_{\mu }\,dx_{\nu }$ doit être identifié avec un invariant absolu quadratique, s’il y en a un. Précisément, nous venons de voir (35-18) qu’il en existe un et un seul ${}^{\star \!}\mathrm {R} _{\mu \nu }\,dx_{\mu }\,dx_{\nu }\,;$ nous posons donc

$ds^{2}=g_{\mu \nu }\,dx_{\mu }\,dx_{\nu }={\frac {1}{\lambda }}{}^{\star \!}\mathrm {R} _{\mu \nu }\,dx_{\mu }\,dx_{\nu }={\frac {1}{\lambda }}\mathrm {B} _{\mu \nu }\,dx_{\mu }\,dx_{\nu },$

d’où

(36-18)

$\mathrm {B} _{\mu \nu }=\lambda \,g_{\mu \nu },$

$\lambda$ étant une constante universelle (de dimension −1, puisque $g_{\mu \nu }$ est de dimension 1). Cette constante nous laisse libres d’adopter telle unité de longueur que nous voulons (centimètre, mètre, etc.) en un point d’Univers déterminé ; l’unité de temps est le temps dans lequel la lumière parcourt cette unité de longueur, et par conséquent nous prenons pour unité la vitesse de la lumière. Ce choix étant fait en un point, les jauges en tous les points d’Univers sont fixées par la condition (36-18).

La différence qui sépare $\mathrm {B} _{\mu \nu }$ du tenseur $\mathrm {R} _{\mu \nu }$ de la théorie d’Einstein provient des termes issus de $\varphi _{\mu \nu }^{\sigma }\,;$ nous verrons que ce tenseur $\varphi _{\mu \nu }^{\sigma }$ s’identifie avec « quelque chose » d’électromagnétique. Plus le champ électromagnétique est faible, c’est-à-dire plus l’espace est vide, plus $\mathrm {B} _{\mu \nu }$ est voisin de $\mathrm {R} _{\mu \nu }.$ Dans le vide complet,