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chapitre IV. — l’invariance de la vitesse de la lumière.

mesure l’intervalle de temps, ils trouveront tous le même quotient.

Nous supposerons, dans tout ce qui suit, que tous les observateurs se servent des mêmes règles étalons et des mêmes horloges étalons.

15. Le groupe de Lorentz déduit de l’invariance de la vitesse de la lumière.

Soit un événement noté $(x_{0},y_{0},z_{0},t_{0})$ par les observateurs du système $\mathrm {S} ,$ et noté $(x_{0}^{\prime },y_{0}^{\prime },z_{0}^{\prime },t_{0}^{\prime })$ par les observateurs du système $\mathrm {S} ^{\prime }$ en translation uniforme avec la vitesse $v$ par rapport à $\mathrm {S} .$ Nous nous proposons de chercher les fonctions $f_{1},f_{2},f_{3},f_{4}$ satisfaisant aux relations suivantes :

{\begin{aligned}x^{\prime }-x_{0}^{\prime }&=f_{1}(x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0},t-t_{0}),\\y^{\prime }-y_{0}^{\prime }&=f_{2}(x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0},t-t_{0}),\\z^{\prime }-z_{0}^{\prime }&=f_{3}(x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0},t-t_{0}),\\t^{\prime }-t_{0}^{\prime }&=f_{4}(x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0},t-t_{0}).\end{aligned}}

Si l’on suppose la combinaison de l’espace et du temps homogène^[1] (euclidienne), ces formules de transformation doivent s’appliquer quel que soit l’événement de référence $(x_{0},y_{0},z_{0},t_{0})$ ou $(x_{0}^{\prime },y_{0}^{\prime },z_{0}^{\prime },t_{0}^{\prime }).$

Cette hypothèse de l’homogénéité permet de trouver la forme des fonctions. Considérons trois événements (indices $0,1,2$ ), nous aurons

{\begin{aligned}x_{1}^{\prime }-x_{0}^{\prime }&=f_{1}(x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0},z_{1}-z_{0},t_{1}-t_{0}),\\x_{2}^{\prime }-x_{1}^{\prime }&=f_{1}(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1},t_{2}-t_{1}),\\x_{2}^{\prime }-x_{0}^{\prime }&=f_{1}(x_{2}-x_{0},y_{2}-y_{0},z_{2}-z_{0},t_{2}-t_{0}),\end{aligned}}

et, par suite :

{\begin{aligned}f_{1}(x_{2}-&x_{0},y_{2}-y_{0},z_{2}-z_{0},t_{2}-t_{0})\\=f_{1}(&x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1},t_{2}-t_{1})\\+&f_{1}(x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0},z_{1}-z_{0},t_{1}-t_{0}).\end{aligned}}

↑ C’est précisément cette hypothèse de l’homogénéité de l’espace-temps qui est à la base de la relativité restreinte, l’Univers considéré est euclidien ; nous verrons plus tard, dans la Théorie de la relativité généralisée, que cet Univers euclidien est l’Univers tangent à l’Univers réel.

[1] C’est précisément cette hypothèse de l’homogénéité de l’espace-temps qui est à la base de la relativité restreinte, l’Univers considéré est euclidien ; nous verrons plus tard, dans la Théorie de la relativité généralisée, que cet Univers euclidien est l’Univers tangent à l’Univers réel.

[1]