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première partie. — la relativité restreinte.

équation fonctionnelle qui montre que $f_{1}$ est une fonction linéaire et homogène de ses arguments. Nous allons chercher les coefficients de ces relations.

Ces coefficients ne peuvent évidemment être fonctions que de la vitesse relative $v.$ De plus, le principe de relativité exige que les formules donnant les $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },t^{\prime }$ en fonction des $x,y,z,t$ soient les mêmes que celles donnant $x,y,z,t$ en fonction des $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },t^{\prime },$ dans lesquelles $v$ serait simplement remplacé par $-v.$

Adoptons la disposition d’axes précédemment adoptée. Prenons comme premier événement l’émission d’un signal lumineux en $\mathrm {O}$ et $\mathrm {O^{\prime }}$ à l’origine des temps, c’est-à-dire à l’instant où les axes des deux systèmes sont en coïncidence.

Au bout du temps $t,$ pour l’observateur du système $\mathrm {S} ,$ le signal lumineux a atteint la surface de la sphère du système $\mathrm {S^{\prime }} \!:$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}=0.$

La vitesse de la lumière étant une constante universelle, pour l’observateur du système $\mathrm {S^{\prime }}$ le signal lumineux est au bout du temps sur la sphère du système $\mathrm {S^{\prime }} \!:$

$x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^{2}t^{\prime 2}=0.$

Si $x,y,z,t;$ $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },t^{\prime }$ sont les coordonnées d’un même appareil qui reçoit le signal lumineux (second événement), on a

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}=\lambda x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^{2}t^{\prime 2}=0.$

Les lois des phénomènes ne devant pas changer quand on passe de $\mathrm {S}$ à $\mathrm {S^{\prime }} ,$ ou réciproquement, on a nécessairement $\lambda =1$ et

(1-4)

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}\equiv x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^{2}t^{\prime 2}.$

La disposition d’axes que nous avons choisie exige que :

(2-4)	quels que soient	$y$ et $z,$	on ait à la fois	$x^{\prime }=0$	et	$x=vt,$
(3-4)	»	$x,z$ et $t,$	»	$y^{\prime }=0$	et	$y=0,$
(4-4)	»	$x,y$ et $t,$	»	$z^{\prime }=0$	et	$z=0.$

Les relations linéaires et homogènes qui donnent les $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },t^{\prime }$ en fonction des $x,y,z,t$ contiennent 16 coefficients fonctions de $v$ dont le nombre se réduit avec la disposition d’axes envisagée, car les conditions précédentes montrent que $x^{\prime }$ est indépendant