Page:Becquerel - Le Principe de relativité et la théorie de la gravitation, 1922.djvu/51

31

chapitre IV. — l’invariance de la vitesse de la lumière.

de $y$ et $z\,;$ $y^{\prime }$ indépendant de $x,\,z,\,t\,;$ $z^{\prime }$ indépendant de $x,\,y,\,t.$ De plus, la relation entre $y$ et $y^{\prime }$ doit être identique à celle entre $z$ et $z^{\prime },$ car les directions des axes $y$ et $z$ sont arbitraires et peuvent être permutées.

Il ne reste que 7 coefficients :

(5-4)

${\begin{cases}x^{\prime }=mx+nt,\\y^{\prime }=ay,\\z^{\prime }=az,\\t^{\prime }=px+by+dz+qt.\end{cases}}$

Posons $a=\varphi (v)\,;$ la relation entre $y$ et $y^{\prime }$ ne devant pas dépendre du signe de $v,$ on a $\varphi (v)=\varphi (-v)\,;$ de plus, la réciprocité entre $\mathrm {S}$ et $\mathrm {S^{\prime }}$ exige que $y=\varphi (-v)y^{\prime },$ d’où $\varphi (v)\varphi (-v)=1$ et $a=1.$

On a donc

(6-4)

$y^{\prime }=y,\quad z^{\prime }=z.$

D’après (2-4), pour $x=vt$, $x^{\prime }=0$, par suite

$mv+n=0$

et l’on a

(7-4)

$x^{\prime }=m(x-vt).$

En remplaçant dans l’identité (1-4) $x^{\prime },\,y^{\prime },\,z^{\prime },\,t^{\prime }$ par leurs expressions données par (7-4), (6-4), (5-4), il vient

$m^{2}(x-vt)^{2}\!+y^{2}\!+z^{2}\!-c^{2}(px+by+dz+qt)^{2}\!=x^{2}\!+y^{2}\!+z^{2}\!-c^{2}t^{2}.$

On en conclut que

(8-4)	$b={}$	$d=0,$
(9-4)	$m^{2}={}$	$p^{2}c^{2}+1,$
(10-4)	$m^{2}v={}$	$-c^{2}pq,$
(11-4)	$m^{2}v^{2}={}$	$c^{2}q^{2}-c^{2}.$

De (10-4), on tire

(12-4)

$p=-{\frac {m^{2}v}{c^{2}q}}\,;$

portant cette valeur dans (9-4), il vient

(13-4)

$q^{2}={\frac {m^{4}v^{2}}{c^{2}(m^{2}-1)}}$