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première partie. — la relativité restreinte.

rente $\mathrm {T_{0}}$ pour l’observateur $\mathrm {O} ,$ est

$\mathrm {T_{0}} =\theta +{\frac {r_{1}-r}{c}}\cdot$

Si la période est assez courte pour que $\mathrm {AA_{1}} =v\theta$ soit une distance très petite par rapport à la distance $\mathrm {AO} =r,$ on a, en désignant par $\varphi$ l’angle de la vitesse de la source et de la direction observateur-source prolongée, ou, ce qui est la même chose, l’angle de la vitesse de l’observateur par rapport à la source et du rayon lumineux, angle mesuré dans le système de l’observateur,

$r_{1}-r=\mathrm {AA_{1}} \cos \varphi =v\theta \cos \varphi \,;$

d’où

(3-7)

$\mathrm {T_{0}} =\theta \left(1+{\frac {v\cos \varphi }{c}}\right)=\theta \left(1+{\frac {v_{r}}{c}}\right),$

$v_{r}$ étant la vitesse radiale de la source par rapport à l’observateur, positive si la source s’éloigne, négative si la source se rapproche.

C’est la formule qu’on donnait autrefois : 1^o en appliquant la formule approximative de l’acoustique (2-7) ; 2^o en considérant $\theta$ comme la période de la source.

Dans l’ancienne théorie, on commettait ainsi une double erreur, car : 1^o la formule (3-7) est exacte, et non approximative comme en acoustique, en ce qui concerne $\left(1+{\frac {v_{r}}{c}}\right),$ parce que la vitesse de la lumière est une constante ; 2^o elle n’est qu’approximative si l’on prend $\theta$ comme la période de la source.

Nous savons, en effet, maintenant, que $\theta$ n’est pas la période propre de la source, c’est-à-dire la durée qui sépare deux phases égales de l’émission dans un système lié à la source. Soit $\mathrm {T_{A}}$ la période propre de $\mathrm {A} ,$ on a

$\mathrm {T_{A}} =\alpha \theta ,$

car $\mathrm {T_{A}}$ est l’intervalle de temps propre entre deux émissions, alors que $\theta$ est l’intervalle de temps mesuré dans le système de l’observateur (10-6, n^o 25).

La formule exacte de l’effet Doppler est donc la suivante :

(4-7)

$\mathrm {T_{0}=T_{A}} {\frac {1}{\alpha }}\left(1+{\frac {v_{r}}{c}}\right)\cdot$