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se trouve être une fonction (fonction elliptique) de z, qui peut être regardée comme connue lorsqu’on connaît p(z) ; plus généralement, la théorie des « fonctions elliptiques » permet d’étudier les intégrales de toutes les fonctions de x qui sont des expressions rationnelles par rapport à x et à la racine carrée d’un polynôme en x du troisième ou du quatrième degré^[1].

Lorsque, dans les intégrales y et z ci-dessus, le degré n est supérieur à 4, la méthode des fonctions elliptiques nous refuse ses services. Nous nous trouvons avoir dépassé les limites de son champ d’action. Qu’à cela ne tienne ; nous prendrons une autre route, plus détournée encore. Nous ramènerons l’étude des intégrales y et z non plus à la considération d’une fonction d’une variable p(z), mais à l’étude simultanée de plusieurs fonctions de plusieurs variables, fonctions d’un type remarquable dites fonctions abéliennes.

Si maintenant, laissant le chapitre des intégrales indéfinies, nous passons à celui des équations différentielles — l’un des plus importants de l’Analyse moderne — nous verrons se multiplier et se diversifier de plus en plus les méthodes de recherche.

On a étudié avec succès certains types d’équations différentielles, appartenant à la famille des équations linéaires, mais on est dans cet ordre d’idées, parvenu, à un point au-delà duquel il semble que l’on ne puisse plus progresser. Que fait-on ? On va chercher dans une partie des mathématiques fort éloignée des équations différentielles un nouvel instrument de calcul : la fonc-

1. Intégrales de la forme $\int _{0}^{x}\mathrm {R} (x,u)\,dx$, où R est une fonction rationnelles des deux quantités x et u et où $u={\sqrt {\mathrm {P} (x)}}$, P étant polynome en x du 3^e  ou 4^e  degré.