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6. Variations du sinus. — Si l’on considère, à partir du point A, un arc infiniment petit, son sinus est aussi infiniment petit. À mesure que l’arc augmente, le sinus augmente, et quand l’arc égale 90°, le sinus n’est autre chose que le rayon.

Soit maintenant un arc AB′ > 90°. Son sinus est M′P′ perpendiculaire sur A′A. À mesure que l’arc augmente au-delà de B, le sinus diminue, et quand l’arc égale 180° le sinus se réduit à un point. Ainsi, de 90° à 180° le sinus reprend les valeurs qu’il avait prises de 90° à 0°, et la valeur maximum du sinus d’un angle d’un triangle est 1, ce qui arrive quand l’angle est droit. Donc

$\sin 0^{\circ }=0$,xxx$\sin 90^{\circ }=1$,xxx$\sin 180^{\circ }=0$.

Si la corde MM′ est parallèle à AA′, le sinus MP de l’arc AM est égal au sinus M′P′ de l’arc ABM′. Or, ces deux arcs sont supplémentaires. Donc, quand deux arcs sont supplémentaires, leurs sinus sont égaux. En désignant par a un arc < 90°, on a ainsi : $\sin(180^{\circ }-a)=\sin a$.

7. Il y a des angles dont il est facile de connaître le sinus, par exemple les angles de 30°, de 60°, de 18° et de 45°.

En effet, le sinus de 30° est égal à la moitié de la corde qui sous-tend un arc de 60°. Or, cette corde est égale au rayon, donc : $\sin 30^{\circ }={\tfrac {1}{2}}$ c’est-à-dire la moitié du rayon, quel que soit ce rayon.

De même, le sinus de 60° est égal à la moitié de la corde qui sous-tend un arc de 120° ; cette corde est égale à $r{\sqrt {3}}$ ; donc : $\sin 60^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}=0{,}866$, c’est-à-dire 866 fois la 1000^e partie du rayon.

Le côté du décagone régulier inscrit, c’est-à-dire la corde qui sous-tend un arc de 36°, égale ${\tfrac {r}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)$ ; donc

$\sin 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)=0{,}309$,

c’est-à-dire 309 fois la 1000^e partie du rayon.