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On décrit une circonférence avec un rayon quelconque (fig. 5), et on mène les deux diamètres rectangulaires AA′ et BB′. On prend sur OB à partir de O une longueur OC égale à 7 fois la 10^e partie du rayon, et, par le point C, on mène la droite MN, parallèle à AA′. Les deux arcs supplémentaires AM et ABN sont les arcs demandés. Les angles sont AOM et AON.

2^o Soit $\operatorname {cotg} x=-1{,}2$. Après avoir mené une tangente en B, on prend sur cette droite et à gauche de B, à cause du signe $-$, une longueur BS′ égale à 12 fois la 10^e partie du rayon, et on tire la droite OS′. L’arc ABN est l’arc demandé.

FORMULES FONDAMENTALES.

13. 1^o Quel que soit un arc, AM, par exemple (fig. 5), son sinus MP, son cosinus OP et le rayon OM forment toujours un triangle rectangle. Si donc on désigne l’arc AM par a, on aura, d’après un théorème de géométrie,

$\sin ^{2}a+\cos ^{2}a=1$.

2^o Les triangles rectangles semblables AOT et MOP donnent

$\mathrm {\frac {AT}{PM}} =\mathrm {\frac {OA}{OP}}$  ou  ${\frac {\operatorname {tang} a}{\sin a}}={\frac {1}{\cos a}}$,

d’où

$\operatorname {tang} a={\frac {\sin a}{\cos a}}$.

3^o Les triangles rectangles semblables BOS, COM donnent

$\mathrm {\frac {BS}{CM}} =\mathrm {\frac {OB}{OC}}$  ou  ${\frac {\operatorname {cotg} a}{\cos a}}={\frac {1}{\sin a}}$,

d’où

$\operatorname {cotg} a={\frac {\cos a}{\sin a}}$.

4^o Des triangles semblables AOT, MOP, on tire

$\mathrm {\frac {OT}{OM}} =\mathrm {\frac {OA}{OP}}$  ou  ${\frac {\sec a}{1}}={\frac {1}{\cos a}}$,