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d’où

$\sec a={\frac {1}{\cos a}}$.

5^o Des triangles semblables BOS, COM, on tire

$\mathrm {\frac {OS}{OM}} =\mathrm {\frac {OB}{OC}}$,   ou  ${\frac {\operatorname {cosec} a}{1}}={\frac {1}{\sin a}}$,

d’où

$\operatorname {cosec} a={\frac {1}{\sin a}}$.

Si on multiplie membre à membre la 2^e égalité par la 3^e, on obtient

$\operatorname {tang} a\operatorname {cotg} a=1$,   ou  $\operatorname {cotg} a={\frac {1}{\operatorname {tang} a}}$.

Remarque. — Ces formules sont vraies pour un arc > 90° comme pour un arc < 90° ; car les lignes trigonométriques de l’arc formeront toujours des triangles rectangles d’où on tirera les mêmes égalités, pourvu qu’on ait soin de donner à chaque ligne le signe qui lui convient. Par exemple, considérons l’arc ABN, dont la tangente est — AT′. Les triangles semblables AOT′, NOQ′ donnent $\mathrm {\frac {AT^{\prime }}{NQ}} =\mathrm {\frac {OA}{OQ}}$. Or, en désignant par a′ l’arc ABN, on a

$\operatorname {tang} a^{\prime }=-\mathrm {AT^{\prime }}$, d’où  $\mathrm {AT^{\prime }} =-\operatorname {tang} a^{\prime }$,

$\cos a^{\prime }=-\mathrm {OQ}$ ,   d’où  $\mathrm {OQ} =-\cos a^{\prime }$,

$\mathrm {NQ} \ =\ \sin a^{\prime }$       et     $\mathrm {OA} \ =\ 1$.

Remplaçant les 4 termes de la proportion précédente par leurs valeurs, nous obtenons

${\frac {-\operatorname {tang} a^{\prime }}{\sin a^{\prime }}}={\frac {1}{-\cos a^{\prime }}}$,  ou  $-{\frac {\operatorname {tang} a^{\prime }}{\sin a^{\prime }}}=-{\frac {1}{\cos a^{\prime }}}$.

ou, en changeant les signes des deux membres, ${\frac {\operatorname {tang} a^{\prime }}{\sin a^{\prime }}}={\frac {1}{\cos a^{\prime }}}$, ce qui est conforme à la formule trouvée (2^o) pour un arc a < 90°.