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q le second arc a—b, ce qui est ainsi indiqué

$a+b=p,\quad a-b=q$.

xxxx	Ces deux égalités, ajoutées ensemble, donnentxxx	$a={\frac {p+q}{2}}$.
	La seconde retranchée de la première donne	$b={\frac {p-q}{2}}$.

En remplaçant a et b par ces valeurs dans les égalités obtenues, on a

xxxx(12)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}\right.$

$\sin p+\sin q=2\sin {\frac {p+q}{2}}\cos {\frac {p-q}{2}},$

$\sin p-\sin q=2\sin {\frac {p-q}{2}}\cos {\frac {p+q}{2}}.$

La première, par exemple, exprime la règle suivante : la somme des sinus de deux arcs est égale au double produit du sinus de la demi-somme de ces arcs par le cosinus de leur demi-différence.

2^o En opérant de la même manière sur les égalités

${\begin{aligned}\cos(a+b)&=\cos a\cos b-\sin a\sin b,\\\cos(a-b)&=\cos a\cos b+\sin a\sin b,\end{aligned}}$

et en observant que dans la soustraction il faut retrancher la première de la seconde parce que $\cos(a+b)$ est plus petit que $\cos(a-b)$, on trouve

xxxx(13)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}\right.$

$\cos p+\cos q=2\cos {\frac {p+q}{2}}\cos {\frac {p-q}{2}},$

$\cos q-\cos p=2\sin {\frac {p+q}{2}}\sin {\frac {p-q}{2}}.$

Remarque I. — Pour transformer en un produit la somme ou la différence d’un sinus et d’un cosinus, on remplace le cosinus par le sinus du complément, ce qui ramène au cas précédent.

Soit par exemple $\sin a+\cos b$. Cette somme est égale à $\sin a+\sin(90^{\circ }-b)$. En appliquant à cette somme de deux sinus la règle trouvée, on a