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En effet, dans le triangle ABC, désignons comme à l’ordinaire les trois angles par A, B, C, et les côtés qui leur sont opposés par a, b, c. On a, d’après le n^o 41 :

$\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A-B} }{2}}\ =\ \operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A+B} }{2}}\times {\frac {a-b}{a+b}}$.

Divisant le numérateur et le dénominateur du second membre par a, on trouve :

$\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A-B} }{2}}\ =\ \operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A+B} }{2}}\times {\frac {1-{\frac {b}{a}}}{1+{\frac {b}{a}}}}$.

Comme la tangente d’un angle peut prendre toutes les valeurs depuis zéro jusqu’à l’infini quand l’angle varie depuis 0° jusqu’à 90° on peut, quel que soit le quotient ${\frac {b}{a}}$, le regarder comme exprimant la tangente d’un angle $\varphi$ que l’on calculera par la relation $\operatorname {tang} \varphi =\ {\frac {b}{a}}$.

Remplaçant donc ${\frac {b}{a}}$ par $\operatorname {tang} \varphi$, on obtient :

$\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A-B} }{2}}\ =\ \operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A+B} }{2}}\times {\frac {1-\operatorname {tang} \varphi }{1+\operatorname {tang} \varphi }}$.

Mais on a déjà trouvé au n^o 40 :

${\frac {1-\operatorname {tang} \varphi }{1+\operatorname {tang} \varphi }}=\operatorname {tang} (45^{\circ }-\varphi )$.

On a donc, pour calculer les angles du triangle ABC, les deux formules :

xxxx(24)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$\operatorname {tang} \varphi ={\frac {b}{a}},$

$\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A-B} }{2}}\ =\ \operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A+B} }{2}}\times \operatorname {tang} (45^{\circ }-\varphi )$.