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che les sinus et cosinus des arcs de 9° en 9°. On a d’abord (n^o 7)

$\sin 18^{\circ }={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)$.

$\cos 18^{\circ }={\sqrt {1-\sin ^{2}18^{\circ }}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$.

Les formules (10) donnent

                                             $\sin 36^{\circ }={\frac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}$,

                                             $\cos 36^{\circ }={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}+1\right)$.

Pour connaître $\sin 9^{\circ }$ et $\cos 9^{\circ }$, on pourrait employer les formules (11) ; mais on obtiendra des résultats plus simples en les cherchant en fonction de $\sin 18^{\circ }$ au moyen des formules (34) données plus loin au n^o 65. De cette manière, on trouve
                                        $\sin 9^{\circ }={\frac {1}{4}}{\sqrt {3+{\sqrt {5}}}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}$,

                                        $\cos 9^{\circ }={\frac {1}{4}}{\sqrt {3+{\sqrt {5}}}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}$.

Comme $\sin 54^{\circ }$ est égal à $\cos 36^{\circ }$, et que 27° est la moitié de 54°, on aura par ces mêmes formules

                                        $\sin 27^{\circ }={\frac {1}{4}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}$,

                                        $\cos 27^{\circ }={\frac {1}{4}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}$ ;
on a aussi

$\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}$.

En effectuant les opérations indiquées, on obtiendra les valeurs de ces sinus et cosinus avec une approximation aussi grande qu’on voudra.

C’est ainsi qu’ont d’abord été calculées les premières tables trigonométriques. Depuis, on a trouvé des méthodes plus expéditives ; mais elles sont fondées sur des principes qui n’appartiennent pas aux mathématiques élémentaires.