Sur les Ovales.
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XI. Notes pour la classification des ovales. — On sait que, dans la Géométrie, Descartes a distingué 4 espèces, qui peuvent être repré- sentées par les équations suivantes en coordonnées bipolaires, où /f «cTi, et rf est la distance des foyers.
|o u-^kv = a-\-kb, a -\- b =: d
20 u — k V =^ a — k b, a -- b =z d
3» u — k V =: a — k b, a — b = d
40 u-\-kv=a-\-kb, a — b = d
ou bien « = a — ky, v = fc -\-y 11 u = a -\- ky, V z= b --y „ u — a-\-ky,vzzib -\-y » u = a — ky, v= b -\-y
En somme, il prend les différents cas que lui donne l'équation linéaire générale en coordonnées bipolaires, M + frï'=c, en supposant toujours les rayons vecteurs positifs, suivant que k est positif et négatif, et suivant que c est plus grand (1° et 2°) ou plus petit (3° et 4°) que la distance des foyers.
L'ovale dont nous avons vu marquer les trois foyers, appartient au premier genre, si on la considère par rapport à un foyer intérieur et au foyer extérieur; elle appartient,aucontraire, au quatrième genre, si on la considère par rapport aux deux foyers intérieurs; de même le second genre et le troisième ne se distinguent qu'en raison du choix des foyers. Mais Descartes fait abstraction de cette circons- tance, qui pourtant ne pouvait guère lui échapper. Il procède en supposant successivement le sommet origine des abscisses sur le prolongement de la droite qui joint les foyers (i" cas), puis entre les deux foyers (2' cas); il examine, dans chacun de ces deux cas, les combinaisons de signes possibles pour cetd, ayant posé de fait, pour les deux rayons vecteurs, u = a + dy, v = b -\- Cf. D'ailleurs il considère toujours a et é» comme positifs, ainsi que les rayons vecteurs; enfin, dans ces premières notes, il fait ^=1.
Si ce mode de classification convient au but pratique de Descartes, il n'a pas d'intérêt théorique. En effet, comme nous l'avons indiqué, il n'y a que deux sortes d'ovales, qui se trouvent d'ailleurs toujours associées par conjugaison, chaque couple étant représenté par une même équation (du quatrième degré en coordonnée rectiligne ou linéaire en coordonnées bipolaires, avec la convention d'admettre les rayons vecteurs négatifs). L'une de ces courbes (la cordiforme, 2^ et y genres de Descartes) enveloppe toujours l'autre, la véritable ovale (i" et 4' genres), lorsque les trois foyers (l'un extérieur, les deux autres intérieurs) sont pris à distance finie les uns des autres.
