Je porte le même jugement de la solution qu’il donne du problème de la mise de celui qui propose d’amener croix en deux coups et de celui qui accepte ce jeu. Rien n’est plus faux que ces mises soient comme 2 à 1 ou dans quelqu’autre rapport que celui de 3 à 1.
Comme il en a fait une affaire de dialectique, il faut argumenter contre lui, et lui montrer le peu de fondement de la distinction du cas possible et du cas certain, en écartant ces idées de la solution.
Si un joueur a égale espérance, en jouant un seul coup, d’obtenir ou rien ou une coupe d’or, il est clair que la valeur de son coup est de la moitié de la coupe d’or.
Si un joueur a égale espérance, en jouant un seul coup, d’obtenir ou un casque ou une coupe d’or, ou quelque sorte d’avantage que ce soit, il est clair que la valeur de son coup est de la moitié de ces avantages ; ainsi, dans l’exemple proposé du cas que et de la coupe) il est de la moitié du casque, plus de la moitié de la coupe.
Cela posé, si Pierre et Jacques jouent à croix ou pile, et que Jacques accorde deux coups à Pierre pour amener croix, voyons quelle doit être la mise de Pierre, et quelle est la mise de Jacques.
Soit une quantité quelconque ignorée la somme de la mise de Pierre et de la mise de Jacques.
Lorsque Pierre est sur le point de jouer son premier coup, son espérance est la même à toute la somme des mises, et à un second coup.
Donc la valeur de son espérance est de la moitié de toute la somme des mises, plus de la moitié d’un second coup.
Mais quelle est la valeur de ce second coup pour Pierre ?
Puisque ce second coup lui donne une égale espérance à toute la somme des mises et à rien, sa valeur est de la moitié de toute la somme des mises, et la moitié de sa valeur du quart de toute la somme des mises.
Donc, lorsque Pierre est sur le point de jouer son premier coup, la valeur de son espérance est de la moitié de toute la somme des mises, plus du quart de toute la somme des mises, ou bien des trois quarts de toute la somme des mises.
Donc, la valeur de l’espérance de Jacques est d’un quart de toute la somme des mises.
