plus petit, comme le tout à sa partie. La raison détermine donc combien de fois le plus petit est contenu dans le plus grand, ou combien celui-ci contient le plus petit, c’est-à-dire à quelle partie du grand le petit est égal.
La raison que le plus grand terme a au plus petit, par exemple, 6 à 3, est appellée raison de plus grande inégalité ; & celle que le plus petit terme a au plus grand, par exemple, 3 à 6, est appellée raison de moindre inégalité.
Cette raison correspond à toutes sortes de quantités en général, soit discretes ou continues, commensurables ou incommensurables ; mais la quantité discrete ou continue admet une autre espece de raison.
Lorsque le moindre terme d’une raison est une partie aliquote du plus grand, la raison de plus grande inégalité s’appelle multiple, multiplex, & la raison de moindre inégalité, sous-multiple. Voyez Multiple.
Dans le premier cas particulierement, si l’exposant est 2, la raison s’appelle double ; triple, si c’est 3, &c. Dans le second cas, si l’exposant est , la raison est appellée sous-double ; si c’est , sous-triple, &c. Par exemple, la raison de 6 à 2 est triple, à cause qu’elle contient 2 trois fois : celle au contraire de 2 à 6 est sous-triple, à cause que 2 est le tiers de 6.
Si le plus grand terme contient le plus petit une ou plusieurs fois, plus une ou plusieurs parties, la raison de plus grande ou de moindre inégalité reçoit encore différens noms. Nous allons les donner ici, quoique la plûpart soient aujourd’hui peu en usage, mais ces noms pourront être utiles à ceux qui lisent les anciens auteurs.
Dans le premier cas, si l’exposant est 1, la raison est sesquialtere ; si , sesquitierce. Dans l’autre, si l’exposant est , la raison est appellée sous-sesquialtere ; si , sous-sesquitierce.
Par exemple, 3 est à 2 en raison sesquialtere, & 2 à 3 en raison sous-sesquialtere.
Lorsque le plus grand terme contient le plus petit une fois, & outre cela plus d’une de ses parties, la raison de plus grande inégalité s’appelle surpartiente, & celle de moindre inégalité sous-surpartiente.
Si l’exposant est 2/3, la raison s’appelle surbipartiente tierce ; si , surtripartiente quarte ; si , surquadripartiente septieme, &c. Dans le dernier cas, si l’exposant est , la raison s’appelle sous-surbipartiente tierce ; si , sous-surbipartiente quarte ; si, &c. Voyez Euclide.
Par exemple, la raison de 5 à 3 est surbipartiente tierce ; celle de 3 à 5 sous-surbipartiente tierce.
Lorsque le plus grand terme contient le plus petit plusieurs fois, & plus d’une de ses parties, la raison de plus grande inégalité s’appelle multiple surparticuliere ; & celle de moindre inégalité, sous-multiple, sous-surparticuliere.
Particulierement dans le premier cas, si l’exposant est 2, la raison est appellée double sesquialtere ; si triple sesquiquarte, &c. Dans le dernier, la raison est appellée sous-double, sous sesquialtere, si l’exposant est , & sous-triple sous-sesquiquarte, s’il est , &c.
Par exemple, la raison de 16 à 5 est triple sesquiquinte ; celle de 4 à 9, sous-double sous-sesquiquarte.
Enfin, lorsque le plus grand terme contient le plus petit plusieurs fois, & de plus, plusieurs de ses parties aliquotes, la raison de plus grande inégalité est appellée multiple surpartiente ; celle de moindre inégalité, sous-multiple sous-surpartiente.
Dans le premier cas, par exemple, si l’exposant est 2, la raison est appellée double surbipartiente tierce ; si , triple surbiquadripartiente septieme, &c. Dans le dernier cas, si l’exposant est , on l’appelle sous double sous surquadripartiente tierce ; si , sous triple soussurquadripartiente septieme.
Par exemple, la raison de 25 à 7 est triple surquadripartiente septieme ; celle de 3 à 8, sous-double sous-surbipartiente tierce.
Telles sont les diverses especes de raisons rationnelles, dont le nom est absolument nécessaire à ceux qui lisent les anciens auteurs, quoiqu’elles se rencontrent rarement dans les auteurs modernes, qui les expriment par les exposans de la raison, par exemple, par 2 : 1 : si la raison est double ; par 3 : 2 si elle est sesquialtere.
Les raisons égales ou identiques sont celles dont les antécédens ont un rapport égal avec leurs conséquens, c’est-à-dire dont les antécédens divisés par les conséquens, donnent des exposans égaux. On peut concevoir par-là l’identité des raisons irrationnelles.
D’où il suit, 1°. que deux raisons étant égales, l’antécédent de l’une doit contenir autant de fois son conséquent que l’antécédent de l’autre contient le sien. Secondement, si A est à B comme C est à D, cela s’exprime ainsi : ; ou . La premiere expression est celle dont on se sert pour l’ordinaire pour exprimer l’identité des raisons ; l’autre est celle de Wolf, qui a cet avantage sur la premiere, que le caractere du milieu=exprime l’égalité des raisons.
Nous avons déja observé que deux raisons égales, par exemple , forment une proportion ; si l’on a deux raisons inégales, par exemple & , nous appellerons A : B la plus grande, & nous écrirons ; au contraire nous appellerons la moindre, & nous écrirons .
Les raisons composées sont celles qui sont faites par la multiplication de deux ou plusieurs raisons multipliées les unes par les autres, c’est-à-dire par le produit des antécédens & des conséquens. Par exemple, la raison de 6 à 72 est une raison composée de 2 à 6, & de 3 à 12, c’est-à-dire formée du produit des antécédens 2 & 3, & des conséquens 6 & 12.
Une raison composée de deux raisons égales, s’appelle doublée ; triplée, quand elle est composée de trois ; quadruplée, quand elle l’est de quatre ; & en général multipliée, quand elle est composée de plusieurs raisons semblables : par exemple, 48 : 3 est une raison doublée de 4 : 1 & 12 : 3. Voyez Doublée, &c.
Propriétés des raisons. 1°. Les raisons égales à une troisieme, sont égales entr’elles.
2°. Si , alors en raison inverse .
3°. Les parties semblables P & p ont même raison aux touts T & t ; & si les touts ont la même raison que leurs parties, les parties sont semblables.
4°. Si , pour lors en raison alterne . D’où il suit que si , & , & , nous aurons . Donc encore si ; & , nous aurons .
5°. Les choses qui ont même raison à une troisieme, sont égales entr’elles, & vice versâ.
6°. Si l’on multiplie des quantités égales A & B par les mêmes quantités, ou par des quantités égales, les produits D & E seront l’un à l’autre comme A & B.
7°. Si l’on divise telle quantité que l’on voudra, comme A & B par les mêmes quantités, ou par des quantités égales, les quotiens seront l’un à l’autre comme A & B.
8°. Si l’on divise les antécédens ou les conséquens des raisons égales A : B & C : D par la même quantité E ; dans le premier cas les quotiens F & G auront même raison aux conséquens B & D ; dans le second les antécédens A & B auront même raison aux quotiens H & K.
