au centre, aussi bien que ceux de l’ellipse, mais avec cette différence que c’est en-dehors de la courbe.
On peut s’instruire des principales propriétés des sections coniques, dans l’application de l’Algebre à la Géométrie, par M. Guisnée : ceux qui voudront les apprendre plus en détail, auront recours à l’ouvrage de M. le marquis de l’Hopital, qui a pour titre, traité analytique des sections coniques : enfin on trouvera les propriétés des sections coniques traitées fort au long dans l’ouvrage in-folio de M. de la Hire, qui a pour titre, sectiones conicæ in novem libros distributæ ; mais les démonstrations en sont pour la plûpart très-longues, & pleines d’une synthese difficile & embarrassée. Enfin M. de la Chapelle, de la société royale de Londres, vient de publier sur cette matiere un traité instructif & assez court, approuvé par l’académie royale des Sciences.
Les sections coniques, en y comprenant le cercle, composent tout le système des lignes du second ordre ou courbes du premier genre, la ligne droite étant appellée ligne du premier ordre. Ces lignes du second ordre ou courbes du premier genre, sont celles dans l’équation desquelles les indéterminées x, y, montent au second degré. Ainsi pour représenter en général toutes les sections coniques, il faut prendre une équation dans laquelle x, y, montent au second degré, & qui soit la plus composée qui se puisse ; c’est-à-dire qui contienne, outre les quarrés x x & y y, 1° le plan xy, 2° un terme qui renferme x lineaire, 3° un terme qui contienne y lineaire, & enfin un terme tout constant. Ainsi l’équation générale des sections coniques sera
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Cela posé, voici comment on peut réduire cette équation à représenter quelqu’une des sections coniques en particulier.
Soit , on aura . Equation qu’on peut changer en celle-ci
. On verra facilement que les nouvelles coordonnés de la courbe sont z, & une autre ligne u qui est en rapport donné avec x, desorte qu’on peut supposer ; ainsi l’équation pour les coordonnées z, u, sera
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Or, 1° si , la courbe est une parabole : 2° si D est négatif, la courbe est une ellipse ; & elle sera un cercle, si , & que l’angle des coordonnées z & u soit droit : 3° si D est positif, la courbe sera une hyperbole. Au reste il arrivera quelquefois que la courbe sera imaginaire, lorsque la valeur de z en u sera imaginaire.
C’est ainsi qu’on pourroit parvenir à donner un traité vraiment analytique des sections coniques ; c’est-à-dire où les propriétés de ces courbes seroient déduites immédiatement de leur équation générale, & non pas comme dans l’ouvrage de M. le marquis de l’Hopital, de leur description sur un plan. M. l’abbé de Gua a fait sur ce sujet de fort bonnes réflexions dans son ouvrage intitulé, usages de l’analyse de Descartes, & il y trace le plan d’un pareil traité.
M. le marquis de l’Hopital, après avoir donné dans les trois premiers livres de son ouvrage les propriétés de chacune des sections coniques en particulier, a consacré le quatrieme livre à exposer les propriétés qui leur sont communes à toutes : par exemple, que toutes les ordonnées à un même diametre soient coupées en deux également par ce diametre, que les tangentes aux deux extrémités d’une même ordonnée aboutissent au même point du diametre, &c.
Les anciens avoient considéré d’abord les sections coniques dans le cone où elles sont nées ; & la meilleure maniere de traiter ces courbes seroit peut-être de les envisager d’abord dans le cone, d’y chercher leur équation, & de les transporter ensuite sur le plan pour trouver plus facilement par le moyen de cette équation leurs autres propriétés ; c’est ce que M. de la Chapelle s’est proposé de faire dans l’ouvrage dont nous avons parlé.
Quelques auteurs, non contens de démontrer les propriétés des sections coniques sur le plan, ont encore cherché le moyen de démontrer ces propriétés, en considérant les sections coniques dans le cone même. Ainsi M. le marquis de l’Hopital a consacré le sixieme livre de son ouvrage à faire voir comment on retrouve dans le solide les mêmes propriétés des sections coniques démontrées sur le plan : il a rempli cet objet avec beaucoup de clarté & de simplicité. Dans cet article nous avons envisagé les sections coniques de la maniere qui demande le moins d’apprêt, mais qui n’est peut-être pas la plus naturelle : la méthode que nous avons suivie convenoit mieux à un ouvrage tel que celui-ci ; & celle que nous proposons conviendroit mieux à un ouvrage en forme sur les sections coniques. Voyez les articles Courbe, Lieu, Construction &c.
Pour démontrer les propriétés des sections coniques dans le cone, il est bon de prouver d’abord que toute section conique est une courbe du second ordre, c’est-à-dire où les inconnues ne forment pas une équation plus haute que le second degré. Cela se peut prouver très-aisément par l’Algebre, en imaginant un cercle qui serve de base à ce cone, en faisant les ordonnées de la section conique paralleles à celles du cercle, & en formant des triangles semblables qui ayent pour sommet commun celui du cone, & pour bases les ordonnées paralleles, &c. Nous ne faisons qu’indiquer la méthode : les lecteurs intelligens la trouveront sans peine ; & les autres peuvent avoir recours à la théorie des ombres dans l’ouvrage de M. l’abbé de Gua, qui a pour titre usages de l’analyse de Descartes, &c.
Cela bien démontré, il est visible que la section d’un cone par un plan qui le traverse entierement, ne peut être qu’une ellipse ou un cercle ; car cette section rentre en elle-même, & ne sauroit être par conséquent ni hyperbole ni parabole : de plus, son équation ne monte qu’au second degré, ainsi elle ne peut être que cercle ou ellipse. Mais on n’a pas trop bien démontré dans quel cas la section est un cercle ou une ellipse.
1°. Elle est un cercle, lorsqu’elle est parallele à la base du cone.
2°. Elle est encore un cercle, lorsqu’elle forme une section sous-contraire, & lorsqu’elle est de plus perpendiculaire au triangle passant par l’axe du cone, & perpendiculaire lui-même à la base ; cela est démontré dans plusieurs livres. Voyez Sous-contraire.
3°. Il est aisé de conclure de la démonstration qu’on donne d’ordinaire de cette proposition, & qu’on peut voir, si l’on veut, dans le traité des sections coniques de M. de la Chapelle, que toute section perpendiculaire au triangle par l’axe, & qui ne fait pas une section sous-contraire, est une ellipse. Mais si la section n’est pas perpendiculaire à ce triangle, il devient un peu plus difficile de le démontrer. Voici comment il faut s’y prendre.
En premier lieu, si dans cette hypothese la section conique passe par une autre ligne que celle que forme la section sous-contraire avec le triangle par l’axe, il est aisé de voir que le produit des segmens de deux lignes tirées dans le plan de la courbe ne sera pas égal de part & d’autre ; & qu’ainsi la courbe n’est
