opposées, à connexions multiples, qui présentent des nappes infinies ; sans nous attarder ici à définir géométriquement de semblables surfaces, bornons-nous à en donner un exemple.
Imaginons le front d’un taureau, avec les éminences d’où partent les cornes et les oreilles, et les cols qui se creusent entre ces éminences ; mais allongeons sans limite ces cornes et ces oreilles, de telle façon qu’elles s’étendent à l’infini ; nous aurons une des surfaces que nous voulons étudier.
Sur une telle surface, les géodésiques peuvent présenter bien des aspects différents.
Il est, d’abord, des géodésiques qui se ferment sur elles-mêmes. Il en est aussi qui, sans jamais repasser exactement par leur point de départ, ne s’en éloignent jamais infiniment ; les unes tournent sans cesse autour de la corne droite, les autres autour de la corne gauche, ou de l’oreille droite, ou de l’oreille gauche ; d’autres, plus compliquées, font alterner suivant certaines règles les tours qu’elles décrivent autour d’une corne avec les tours qu’elles décrivent autour de l’autre corne, ou de l’une des oreilles. Enfin, sur le front de notre taureau aux cornes et aux oreilles illimitées, il y aura des géodésiques qui s’en iront à l’infini, les unes en gravissant la corne droite, les autres en gravissant la corne gauche, d’autres encore en suivant l’oreille droite ou l’oreille gauche.
Malgré cette complication, si l’on connaît avec une entière exactitude la position initiale d’un point matériel sur ce front de taureau et la direction de la vitesse initiale, la ligne géodésique que ce point suivra dans son mouvement sera déterminée sans aucune ambiguïté.
