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ARITHMÉTIQUES.

mière provient de
$1+{\frac {l-1}{1}}+{\frac {(l-1)(l-2)}{1.2}}+{\frac {(l-1)(l-2)(l-3)}{1.2.3}}\ +\ {\text{etc}}.$
en prenant le premier terme, puis la somme du second et du troisième, puis la somme du quatrième et du cinquième, etc. : la seconde provient aussi de la même série, en joignant le premier terme au second, le troisième au quatrième , etc. Il y a donc autant de formes de diviseurs de $x^{2}-A$, que de formes de non-diviseurs ; et ils sont en nombre $2^{l-1}$ de chaque espèce, ou ${\frac {1}{2}}(a-1)(b-1)(c-1)$ etc.

149. Nous pouvons traiter ensemble le second et le troisième cas. En effet on pourra toujours poser $A=(-1).Q$ ou $=(+2)Q$, ou $=(-2)Q$, $Q$ étant un nombre de la forme $+4n+1$ ou $-(4n-1)$. Soit généralement $A=\alpha Q$, ensorte que $\alpha$ soit ou $-1$ ou $\pm 2$. Alors $A$ sera résidu de tout nombre dont $\alpha$ et $Q$ seront tous deux résidus, ou tous deux non-résidus : au contraire il sera non-résidu de tout nombre dont l’un d’eux seulement sera non-résidu. De là on déduit sans peine les formes des diviseurs et des non-diviseurs de $x^{2}-A$. Si $\alpha =-1$, nous partagerons tous les nombres plus petits que $4A$ et premiers avec lui, en deux classes. La première renfermera ceux qui sont dans quelque forme des diviseurs de $x^{2}-Q$, et en même temps de la forme $4n+1$, et aussi ceux qui sont dans quelque forme des non-diviseurs de $x^{2}-Q$ et en même temps de la forme $4n-1$ ; la seconde renfermera tous les autres. Soient $r$, $r'$, $r''$, etc. les premiers, et $n$, $n'$, $n''$, etc. les derniers ; $A$ sera résidu de tous les nombres premiers contenus dans une des formes $4Ak+r$, $4Ak+r'$, $4Ak+r''$, etc., et non-résidu de tous les nombres premiers contenus dans une des formes $4Ak+n$, $4Ak+n'$, $4Ak+n''$, etc. Si $\alpha =\pm 2$, nous distribuerons tous les nombres plus petits que $8Q$ et premiers avec lui en deux classes : la première renfermera tous ceux qui sont contenus dans quelque forme des diviseurs de $x^{2}-Q$, et qui sont de la forme $8n+1$ ou $8n+7$, pour le signe supérieur, et de la forme $8n+1$ ou $8n+3$ pour le signe inférieur ; cette classe comprendra aussi tous ceux qui sont contenus dans quelque forme de non-diviseurs de $x^{2}-Q$ et qui sont, pour le signe supérieur, de la forme $8n+3$, $8n+5$, et pour le signe inférieur, de la forme $8n+5$, $8n+7$, et seconde tous les autres. Alors désignant les nombres de la première classe par $r$, $r'$, $r''$, etc., ceux de la seconde par $n$, $n'$, $n''$, etc., $\pm 2Q$ sera résidu de tous les nombres

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