153. Nous parlerons surtout dans cette section des fonctions de deux indéterminées de la forme , où , , sont des nombres entiers donné, fonctions que nous appellerons formes du second degré, ou simplement formes. Ces recherches nous conduiront à trouver toutes les solutions d’une équation indéterminée quelconque du second degré à deux inconnues, soit qu’on puisse en obtenir la solution en nombres entiers, ou seulement en nombres rationnels. Quoique ce problème ait déjà été résolu dans
toute sa généralité par Lagrange, et qu’il ait trouvé plusieurs propriétés des formes, auxquelles il faut encore joindre celles découvertes par Euler, ou démontrées par lui et annoncées par Fermat :
cependant un examen plus approfondi des formes nous a fait voir
tant de choses nouvelles, que nous avons cru utile de reprendre
ce sujet en entier, avec d’autant plus de raison que nous avons
remarqué que les découvertes de ces hommes illustres, répandues
dans divers ouvrages, étaient connues de peu de personnes.
D’ailleurs la méthode que nous avons employée nous appartient
presque en entier, et les choses que nous pouvions ajouter n’auraient pas été entendues sans une nouvelle exposition. Au reste
nous placerons en temps et lieu ce qui a rapport à l’histoire des
vérités remarquables.
Nous représenterons la forme par le symbole , quand il ne s’agira pas des indéterminées et . Ainsi cette expression désignera d’une manière indéfinie la somme de trois parties, dont la première est le produit d’un nombre donné
