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RECHERCHES

3^o . On trouve de même que les quatre suites infinies $\alpha ',$ $\alpha '',$ $\alpha ''',$ etc. ; $\gamma ,$ $\gamma ',$ $\gamma '',$ etc. ; $\alpha ',$ $\alpha ,$ $'\alpha ,$ $''\alpha ,$ etc. ; $\gamma ,$ $'\gamma ,$ $''\gamma ,$ etc., vont en augmentant, ainsi que les suivantes, qui leur sont équivalentes, $\beta ,$ $\beta ',$ $\beta '',$ etc. ; $'\delta ,$ $\delta$ $\delta ',$ etc. ; $\beta ,$ $'\beta ,$ $''\beta ,$ etc. ; $\delta ,$ $'\delta ,$ $''\delta ,$ etc., et suivant que $m\equiv 0,$ $1,$ $2,$ $3{\pmod {4}},$ le signe de $\alpha ^{(m)}$ est : $+,$ $\pm ,$ $-,$ $\mp \,;$ celui de $\beta ^{(m)}\,:$ $\pm ,$ $-,$ $\mp ,$ $+\,;$ celui de $\gamma ^{(m)}\,:$ $\pm ,$ $+,$ $\mp ,$ $-\,;$ celui de $\delta ^{(m)}\,:$ $+,$ $\mp ,$ $-,$ $\pm \,;$ celui de $^{(m)}\alpha \,:$ $+,$ $\pm ,$ $-,$ $\mp \,;$ celui de $^{(m)}\beta \,:$ $\mp ,$ $+,$ $\pm ,$ $-\,;$ celui de $^{(m)}\gamma \,:$ $\mp ,$ $-,$ $\pm ,$ $+\,;$ celui de $^{(m)}\delta \,;$ $+,$ $\mp ,$ $-,$ $\pm \,;$ en prenant les signes supérieurs quand $a$ est positif, et les inférieurs quand $a$ est négatif. Il est surtout important de remarquer que $m$ indiquant un accent positif quelconque, $\alpha ^{(m)}$ et $\gamma ^{(m)}$ auront les mêmes signes quand $a$ est positif, et des signes contraires quand $a$ est négatif ; il en est de même pour $\beta ^{(m)}$ et $\delta ^{(m)},$ et le contraire a lieu pour $^{(m)}\alpha$ et $^{(m)}\gamma ,$ $^{(m)}\beta$ et $^{(m)}\delta$.

4^o . On peut présenter, d’après la notation du n^o 32, les valeurs de $\alpha ^{(m)},$ $\beta ^{(m)},$ etc. En posant $\mp h'=k',$ $\pm h''=k'',$ $\mp h'''=k''',$ etc. ; $\pm h=k,$ $\mp 'h='k,$ $\pm ''h=''k,$ etc., de manière que $k',$ $k'',$ etc., $k,$ $'k,$ etc. soient positifs, on aura

$\alpha ^{(m)}$	$=$	$\pm [k'',k''',k^{(IV)}...$	$k^{(m-1)}]$	……	$\beta ^{(m)}$	$=$	$\pm [k'',k''',k^{(IV)},\ldots$	$k^{(m)}]$
$\gamma ^{(m)}$	$=$	$\pm [k',k'',k'''...$	$k^{(m-1)}]$	……	$\delta ^{(m)}$	$=$	$\pm [k',k'',k''',\ldots$	$k^{(m)}]$
$^{(m)}\alpha$	$=$	$\pm [k,'k,''k...$	$^{(m-1)}k]$	……	$^{(m)}\beta$	$=$	$\pm [k,'k,''k,\ldots$	$^{(m-2)}k]$
$^{(m)}\gamma$	$=$	$\pm ['k,''k,'''k...$	$^{(m-1)}k]$	……	$^{(m)}\delta$	$=$	$\pm ['k,''k,'''k,\ldots$	$^{(m-2)}k]$

Quant aux signes, ils doivent être déterminés d’après ce qui vient d’être dit (3^o). Au moyen de ces formules, dont nous omettons la démonstration parcequ’elle est très-facile, le calcul devient extrêmement simple.

190. Lemme. Si $\mathrm {m} ,$ $\mathrm {\mu } ,$ $\mathrm {m'} ,$ $\mathrm {n} ,$ $\mathrm {\nu } ,$ $\mathrm {n'}$ désignent des nombres entiers quelconques, mais tels qu’aucun des trois derniers ne soit $=0,$ que $\mathrm {\frac {\mu }{\nu }}$ soit compris entre $\mathrm {\frac {m}{n}}$ et $\mathrm {\frac {m'}{n'}} ,$ et qu’on ait $\mathrm {mn'-nm'=\mp 1} ,$ le dénominateur $\mathrm {\nu }$ sera plus grand que $\mathrm {n}$ et $\mathrm {n'} .$

En effet $\mu nn'$ sera compris entre $\nu mn'$ et $\nu m'n,$ et partant différera de chacune de ces limites d’une quantité plus petite que leur propre différence, ainsi $\nu mn'-\nu m'n>\mu nn'-\nu mn',$ et