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RECHERCHES

pas égal à zéro. En second lieu, soit $\beta =0$ ; l’équation $\alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1$ donne $\alpha =\pm 1$ et $\delta =\pm 1$ ; donc l’équation (2) devient $a'=A'$ ; ainsi $a$ et $A$ sont de même signe, ce qui rend ${\sqrt {\left(D-{\frac {aA}{\alpha ^{2}}}\right)}}>{\sqrt {D}}>b$. Donc dans l’équation (3) on doit prendre le signe inférieur, puisque en prenant le signe supérieur, il s’ensuivrait que ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et $a$ seraient de même signe ; on a donc ${\frac {\alpha }{\gamma }}>{\frac {-{\sqrt {D}}-b}{a}}>1$, ce qui est absurde par la même raison que ci-dessus. Pour la seconde partie du théorème, si nous supposons qu’on n’ait ni $\alpha =0$, ni $\beta =0$ ; que ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et ${\frac {\delta }{\beta }}$ aient le même signe que $a'$ et qu’on ait, en premier lieu, $\gamma =0$, l’équation $\alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1$ donne $\alpha =\pm 1$, $\delta =\pm 1$, donc l’équation (1) devient $A=a$, ainsi $a'$ et $A'$ sont de même signe, ce qui rend ${\sqrt {\left(D+{\frac {a'A}{\alpha ^{2}}}\right)}}>{\sqrt {D}}>b$. Partant, dans l’équation (6), il faut prendre le signe supérieur, et l’on a ${\frac {\delta }{\beta }}>{\frac {{\sqrt {D}}+b}{a}}>1$, ce qui est absurde puisque $\delta =\pm 1$, et que $\beta$ n’est $=0$. Enfin, en second lieu, si l’on a $\delta =0$, l’équation $\alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1$ donne $\beta =\pm 1$, $\gamma =\pm 1$. Donc l’équation (2) devient $-A'=a$, ce qui rend ${\sqrt {\left(D-{\frac {a'A}{\alpha ^{2}}}\right)}}>{\sqrt {D}}>b$. Ainsi dans l’équation (5), il faut prendre le signe supérieur, et l’on a ${\frac {\gamma }{\alpha }}>{\frac {{\sqrt {D}}+b}{a'}}>1$ ; ce qui est absurde.

Le théorème est donc maintenant démontré dans toute sa généralité.

Puisque la différence entre ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$ est ${\frac {1}{\gamma \delta }}$, la différence entre ${\frac {\pm {\sqrt {D}}-b}{a}}$ et ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ ou ${\frac {\beta }{\delta }}$ sera $<{\frac {1}{\gamma \delta }}$. D’ailleurs entre ${\frac {\pm {\sqrt {D}}-b}{a}}$ et ${\frac {\alpha }{\gamma }}$, ou entre cette quantité et ${\frac {\beta }{\delta }}$, il ne pourra tomber aucune fraction dont le dénominateur ne soit $>\gamma$ et $>\delta$ (lemme précéd.). De la même manière, la différence entre ${\frac {\pm {\sqrt {D}}+b}{a'}}$ et ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ ou ${\frac {\delta }{\beta }}$ sera $<{\frac {1}{\alpha \beta }}$, et il ne pourra tomber entre cette quantité et l’une

quelconque