Aller au contenu

Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/199

La bibliothèque libre.
Cette page a été validée par deux contributeurs.
177
ARITHMÉTIQUES.


quelconque de ces fractions, aucune fraction dont le dénominateur ne soit plus grand que et .

192, De l’application du théorème précédent à l’algorithme du no 188, il suit que la quantité , que nous désignerons par , tombe entre et , entre et , entre et , etc. : ou entre , et , entre et etc. ; et l’on déduit sans peine de ce qui a été dit no 189 (3o. à la fin) qu’aucune de ces limites ne sera de signe contraire au signe de , et que partant on doit prendre positivement le radical . Ainsi toutes les fractions dont les accens sont impairs différeront de dans un sens, et toutes celles dont les accens sont pairs en différeront dans le sens contraire. Mais comme , tombera hors et , et de même hors et , hors et , etc. ; ainsi ces quantités se trouveront évidemment placées dans l’ordre suivant :


d’ailleurs la différence entre et sera plus petite que la différence entre et c’est-à-dire, de même la différence entre et sera etc. Ainsi les fractions etc. approcheront de plus en plus de la limite et comme etc. vont toujours en augmentant indéfiniment, la différence de ces fractions à peut être rendue aussi petite qu’on le voudra.

Il suit du no 189, qu’aucune des quantités , n’aura le même signe que on déduit de là, par des raisonnemens absolument semblables aux précédens, que ces fractions et doivent être placées dans l’ordre suivant :


D’ailleurs la différence entre et est moindre que la dif-

Z