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ARITHMÉTIQUES.

quelconque de ces fractions, aucune fraction dont le dénominateur ne soit plus grand que $\alpha$ et $\beta$.

192, De l’application du théorème précédent à l’algorithme du n^o 188, il suit que la quantité ${\frac {{\sqrt {D}}-b}{a}}$, que nous désignerons par $L$, tombe entre ${\frac {\alpha '}{\gamma '}}$ et ${\frac {\beta '}{\delta '}}$, entre ${\frac {\alpha ''}{\gamma ''}}$ et ${\frac {\beta ''}{\delta ''}}$, entre ${\frac {\alpha '''}{\gamma '''}}$ et ${\frac {\beta '''}{\delta '''}}$, etc. : ou entre ${\frac {\alpha '}{\gamma '}}$, et ${\frac {\alpha ''}{\gamma ''}}$, entre ${\frac {\alpha ''}{\gamma ''}}$ et ${\frac {\alpha '''}{\gamma '''}}$ etc. ; et l’on déduit sans peine de ce qui a été dit n^o 189 (3^o. à la fin) qu’aucune de ces limites ne sera de signe contraire au signe de $a$, et que partant on doit prendre positivement le radical ${\sqrt {D}}$. Ainsi toutes les fractions dont les accens sont impairs différeront de $L$ dans un sens, et toutes celles dont les accens sont pairs en différeront dans le sens contraire. Mais comme $\gamma '<\gamma '''$, ${\frac {\alpha '}{\gamma '}}$ tombera hors ${\frac {\alpha '''}{\gamma '''}}$ et $L$, et de même ${\frac {\alpha ''}{\gamma ''}}$ hors ${\frac {\alpha ^{IV}}{\gamma ^{IV}}}$ et $L$, ${\frac {\alpha '''}{\gamma '''}}$ hors $L$ et ${\frac {\alpha ^{V}}{\gamma ^{V}}}$, etc. ; ainsi ces quantités se trouveront évidemment placées dans l’ordre suivant :

${\frac {\alpha '}{\gamma '}},\ {\frac {\alpha '''}{\gamma '''}},\ {\frac {\alpha ^{V}}{\gamma ^{V}}}......L......{\frac {\alpha ^{VI}}{\gamma ^{VI}}},\ {\frac {\alpha ^{IV}}{\gamma ^{IV}}},\ {\frac {\alpha ''}{\gamma ''}}\ ;$

d’ailleurs la différence entre ${\frac {\alpha '}{\gamma '}},$ et $L$ sera plus petite que la différence entre ${\frac {\alpha '}{\gamma '}},$ et ${\frac {\alpha ''}{\gamma ''}},$ c’est-à-dire, $<{\frac {1}{\gamma '\gamma ''}}\ ;$ de même la différence entre ${\frac {\alpha ''}{\gamma ''}}$ et $L$ sera $<{\frac {1}{\gamma ''\gamma '''}},$ etc. Ainsi les fractions ${\frac {\alpha '}{\gamma '}},$ ${\frac {\alpha ''}{\gamma ''}},$ ${\frac {\alpha '''}{\gamma '''}},$ etc. approcheront de plus en plus de la limite $L,$ et comme $\gamma ',$ $\gamma '',$ $\gamma '',$ etc. vont toujours en augmentant indéfiniment, la différence de ces fractions à $L$ peut être rendue aussi petite qu’on le voudra.

Il suit du n^o 189, qu’aucune des quantités ${\frac {\gamma }{\alpha }}$, ${\frac {'\gamma }{'\alpha }},$ ${\frac {''\gamma }{''\alpha }},$ ${\frac {'''\gamma }{'''\alpha }}$ n’aura le même signe que $a\ ;$ on déduit de là, par des raisonnemens absolument semblables aux précédens, que ces fractions et ${\frac {-{\sqrt {D}}+b}{a'}}=L'$ doivent être placées dans l’ordre suivant :

${\frac {\gamma }{\alpha }},\ {\frac {''\gamma }{''\alpha }},\ {\frac {^{IV}\gamma }{^{IV}\alpha }}......L'......{\frac {^{V}\gamma }{^{V}\alpha }},\ {\frac {'''\gamma }{'''\alpha }},\ {\frac {'\gamma }{'\alpha }}.$

D’ailleurs la différence entre ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et $L'$ est moindre que ${\frac {1}{'\alpha \alpha }}$ la dif-

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