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Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/200

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RECHERCHES

férence entre et est moindre que , etc. Ainsi les fractions , , etc. approchent de de plus en plus et continuellement, et la différence peut être rendue plus petite qu’aucune quantité donnée.

Dans l’exemple du no 188, on a , et les fractions convergentes sont : , , , , , , , , etc. Or cette dernière est égale à . De même , les fractions convergentes sont : , , , , , , , , etc., dont la dernière est égale à .

193. Théorème. Si les formes réduites et sont proprement équivalentes, chacune d’elles est contenue dans la période de l’autre.

Soit , , leur déterminant commun, et supposons que la première se change en la deuxième par la substitution propre , , , . Je dis qu’en cherchant la période de la forme , et en calculant dans les deux sens la progression indéfinie des formes réduites et des transformations de en ces différentes formes, comme au no 188, ou bien sera égal à un des termes de la suite … , , , , …, et en le supposant , on aura , ,  ; ou bien sera égal à un certain terme , et , , , à , , , respectivement. Dans l’un ou l’autre cas, sera évidemment identique avec .

I. On a quatre équations :

(1)… - (2)… ,
(3)… - (4)…


considérons d’abord le cas où quelqu’un des nombres , , , est .

1o. Si , l’équation (4) donne , et partant , . Donc l’équation (1) devient  ; l’équation (2) ou. D’où il suit que la