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RECHERCHES
celle qui la suit immédiatement, c’est-à-dire, que si
,
en aura
. Nous avons fait voir dans le no précédent que
les quantités
,
,
, etc. (que nous désignerons par
,
,
, etc.) et
sont placées dans l’ordre suivant:
![{\displaystyle \varphi ',\ \varphi ''',\ \varphi ^{V},\ ......L......\varphi ^{VI},\ \varphi ^{IV},\ \varphi ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58a14c2238723a62ddc011255a7936b0eceec16a)
, ……(I).
La première de ces quantités est
(puisque
) ; toutes les
autres ont le même signe que
ou
; mais comme par hypothèse
et
ont le même signe, ils tomberont, par rapport à
,
du même côté que
, et comme d’ailleurs
tombe entre ces
deux mêmes quantités, elles seront l’une à droite, l’autre à gauche
de
. Mais on peut faire voir aisément que
ne peut tomber
après
, autrement
tomberait entre
et
; d’où il suivrait, 1o. que
tomberait entre
et
, et que partant le dénominateur de la fraction
serait plus grand que
(no 190) ; 2o. que
tombe entre
et
, et que partant
est plus grand que le
dénominateur de
, ce qui implique contradiction.
Supposons que
ne soit égal à aucune des fractions
,
,
, etc., et voyons ce qu’il en résulterait. Alors il est évident
que si
est situé à gauche de
, il tombera entre
et
, ou
entre
et
, ou entre
et
, etc., puisque
est irrationnel
et parconséquent différent de
, et que les fractions
,
, etc.
peuvent approcher de
de plus près qu’aucune quantité donnée
qui ne serait pas
lui-même. De même, si
est à droite de
,
il tombera entre deux fractions consécutives de la suite …
,
,
. Supposons donc que
tombe entre
et
, les fractions
,
,
,
se trouveront dans l’ordre suivant :