déterminées , , , etc. ; , , , etc. on
obtient une transformation plus simple que celle d’où l’on a déduit la formule, et dans ce cas on pourra trouver une formule
plus simple. Au reste, il y a quelque chose d’arbitraire dans le
choix, desorte qu’il serait utile de l’amener à une règle certaine
et d’assigner dans la progression , ; , , etc. des limites après
lesquelles on n’obtient que des transformations moins simples,
desorte qu’il fût suffisant de faire les essais parmi elles. Cependant
comme le plus souvent, par les méthodes que nous avons données,
on obtient la transformation la plus simple, soit sur-le-champ, soit
en employant les valeurs , , nous supprimons cette recherche.
205. Problème. Trouver toutes les représentations d’un nombre donné par une forme donnée dont le déterminant positif non quarré est
Observons d’abord que la recherche des représentations par des valeurs de , non premières entre elles, peut se ramener ici absolument de la même manière que pour les formes de déterminant négatif (no 181), au cas où ces valeurs sont premières entre elles. Or pour qu’il soit possible de représenter le nombre par des valeurs premières entre elles, il faut que soit résidu quadratique de , et si les valeurs de l’expression sont : , , , , etc. qu’on peut prendre telles qu’aucune ne soit toute représentation du nombre par la forme proposée appartiendra à une de ces valeurs. Ainsi, avant tout, on devra chercher les nombres , , etc. et ensuite les représentations qui appartiennent à chacun d’eux. Il n’y aura pas de représentations appartenantes à la valeur , si les formes , ne sont pas proprement équivalentes ; mais si elles le sont, on cherchera une transformation propres, , , , de la première en la seconde, alors on aura, en faisant , une représentation du nombre appartenante à la valeur , et toutes les représentations seront données par les formules
