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ARITHMÉTIQUES.
Au reste, il est évident que cette formule générale sera d’autant
plus simple, que la transformation
,
,
,
, dont elle est déduite, le sera elle-même davantage. Ainsi il sera utile de trouver,
d’après le no précédent, la transformation la plus simple de la
forme
en la forme
. On trouvera absolument de la même manière les formules générales qui donnent
les représentations appartenantes aux valeurs
,
,
, etc.,
s’il en existe.
Exemple. On cherche les représentations du nombre
par la forme
.
Pour ce qui regarde les représentations par des valeurs de
,
non premières entre elles, il est clair qu’il ne peut y en avoir
d’autres que celles où le plus grand diviseur commun des nombres
,
serait
puisque
est le seul diviseur quadratique de
.
Ainsi quand on aura les représentations du nombre
par
la forme
, dans lesquelles
et
sont premiers
entre eux, on en tirera toutes les représentations du nombre
,
par la forme
, en posant
et
.
Les valeurs de l’expression
sont
,
.
On trouve que la représentation du nombre
appartenante à
la valeur
, est
,
, d’où il suit que toutes les représentations de
appartenantes à la même valeur seront données
par la formule
,
, et partant toutes
les représentations du nombre
, par la formule
,
. De la même manière, on trouve que les représentations du nombre
appartenantes à la valeur
sont données
par la formule générale
,
, et
celles qui en naissent pour
par
,
Mais il n’y a aucune représentation du nombre
appartenante à
la valeur
.
Pour trouver les représentations de
par des valeurs de
,
premières entre elles, il faut d’abord trouver les valeurs de l’expression
qui sont
,
,
,
.
On trouve qu’aucune représentation n’appartient aux valeurs
,
,
. Mais pour la valeur
on a la repré-