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RECHERCHES

sentation $x=3$, $y=1$, d’où l’on tire la formule générale $x=3t-114u$, $y=t+157u$. Pour la valeur $+157$, on a de même la représentation $x=83$, $y=-87$, et la formule qui contient toutes les transformations semblables est $x=83t-746u$, $y=-87t+789u$.

On a donc quatre formules générales, dans lesquelles sont contenues toutes les représentations du nombre $585$ par la forme $42x^{2}+62xy+21y^{2}$,

$x=6t-123u,$	-	$y=-3t+159u,$	-	$x=66t-597u,$	-	$y=-69t+633u,$
$x=3t-114u,$	-	$y=\quad \;t+15u,$	-	$x=83t-746u,$	-	$y=-87t+789u.$

Pour abréger, nous ne nous arrêterons pas davantage aux applications particulières des recherches précédentes, parceque chacun pourra y parvenir de lui-même, en imitant ce qui a été fait n^os 176, 182, et nous passons aux formes de déterminant positif quarré qui nous restent à examiner.

206. Problème. Étant donnée une forme $\mathrm {(a,b,c)}$ de déterminant quarré $\mathrm {h^{2}}$ dont $\mathrm {h} h$ est la racine positive, trouver une forme $\mathrm {(A,B,C)}$ qui lui soit proprement équivalente, dans laquelle $\mathrm {A}$ tombe entre $0$ et $\mathrm {2h-1}$ inclusivement, et où l’on ait $\mathrm {B=h} ,$ $\mathrm {C=0} .$

I. Puisque $h^{2}=b^{2}-ac$, on aura ${\frac {h-b}{a}}={\frac {c}{-(h+b)}}$. Soit fait ce rapport $={\frac {\beta }{\delta }}$, $\beta$ étant premier avec $\delta$, et déterminons $\alpha$, $\gamma$ de manière que $\alpha \delta -\beta \gamma =1$, ce qui peut se faire. Par la substitution $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, la forme $(a,b,c)$ se changera en une autre $(a',b',c')$, qui lui sera proprement équivalente. Or on aura

$b'=a\alpha \beta +b(\alpha \delta +\beta \gamma )+c\gamma \delta$

   $=(h-b)\alpha \delta +b(\alpha \delta +\beta \gamma )-(h+b)\beta \gamma =h(\alpha \delta -\beta \gamma )$

    $=h(\alpha \delta -\beta \gamma )$

     $=h$

$c'=\alpha \beta ^{2}+2b\beta \delta +c\delta ^{2}$

    $=(h-b)\beta \delta +2b\beta \delta -(h+b)\beta \delta$

    $=0.$

Si donc $a'$ est situé entre $0$ et $2h-1$, la forme $(a',b',c')$ satisfera à toutes les conditions.

II. Mais si $a'$ tombe hors de ces deux limites, soit $A$ le résidu minimum positif de $A'$, suivant le module $2h$, $A$ sera évidemment entre $0$, et $2h-1$ ; soit posé $A-a'=2hk$, alors la forme $(a',b',c')=(a',h,0)$, se changera, par la substitution $1$, $0$, $k$, $1$, en $(A,h,0)$ qui sera proprement équivalente aux formes $(a',b',c')$,

(a,