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RECHERCHES
sentation , , d’où l’on tire la formule générale
, . Pour la valeur , on a de même
la représentation , , et la formule qui contient
toutes les transformations semblables est ,
.
On a donc quatre formules générales, dans lesquelles sont contenues toutes les représentations du nombre par la forme
,
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Pour abréger, nous ne nous arrêterons pas davantage aux applications particulières des recherches précédentes, parceque chacun
pourra y parvenir de lui-même, en imitant ce qui a été fait
nos 176, 182, et nous passons aux formes de déterminant positif
quarré qui nous restent à examiner.
206. Problème. Étant donnée une forme de déterminant quarré dont est la racine positive, trouver une forme qui lui soit proprement équivalente, dans laquelle tombe entre et inclusivement, et où l’on ait
I. Puisque , on aura . Soit fait ce
rapport , étant premier avec , et déterminons , de manière que , ce qui peut se faire. Par la substitution , , , , la forme se changera en une autre ,
qui lui sera proprement équivalente. Or on aura
Si donc est situé entre et , la forme satisfera
à toutes les conditions.
II. Mais si tombe hors de ces deux limites, soit le résidu
minimum positif de , suivant le module , sera évidemment
entre , et ; soit posé , alors la forme
, se changera, par la substitution , , , ,
en qui sera proprement équivalente aux formes ,
(a,