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ARITHMÉTIQUES.

$(a,b,c)$ et satisfera à toutes les conditions. Au reste, il est aisé de voir que la forme $(a,b,c)$ se change en $(A,h,0)$ par la substitution $\alpha +\beta k,$ $\beta ,$ $\gamma +\delta k,$ $\delta .$

Exemple. Soit la forme $(27,15,8)$ dont le déterminant est $9$ ; ici $h=3$ et ${\frac {\beta }{\delta }}={\frac {4}{-9}}$ ; en prenant donc $\beta =4$ , $\delta =-9$ , $\alpha =-1$ , $\gamma =2$ , la forme $(a',b',c')$ se trouve être $(-1,3,0)$ , qui se change en $(5,3,0)$ par la substitution $1$ , $0$ , $1$ , $1$ . Cette dernière est parconséquent la forme demandée, et la proposée se change en elle par la substitution propre $3$ , $4$ , $-7$ , $-9$ .

Les formes telles que $(A,h,0)$ , dans lesquelles $A$ est compris entre $0$ et $2h-1$ inclusivement, s’appelleront formes réduites ; mais il faut bien les distinguer des formes réduites de déterminant négatif et de déterminant positif non quarré.

207. Théorème. Deux formes réduites $\mathrm {(a,h,0)} ,$ $\mathrm {(a',h,0)}$ ne peuvent être proprement équivalentes sans être identiques.

En effet, si on les suppose proprement équivalentes, soit $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ la transformation qui change la première en la seconde, on aura les équations

$a\alpha ^{2}+2h\alpha \gamma$	$=a'$ ……(1)—	$a\alpha \beta +h(\alpha \delta +\beta \gamma )$	$=h$ ……(2)—
$a\beta ^{2}+2h\beta \delta$	$=0$ ……(3)—	$\alpha \delta -\beta \gamma$	$=1$ ……(4).—

De l’équation (3) on tire $\beta =0$ ou $\alpha \beta +2h\delta =0$ ; mais si l’on suppose que $\beta$ ne soit pas zéro, comme l’équation (2) peut se mettre sous la forme $a\alpha \beta +2h\beta \gamma$ , qui donne alors nécessairement $a\alpha +2h\gamma$ il s’ensuivrait par l’équation (1) que $a'=0$ . Donc on doit seulement supposer ce qui réduit l’équation (4) à $a\alpha \delta =1$ , d’où $\alpha =\pm 1$ . Ainsi l’équation (1) devient $a\pm 2h\gamma =a'$ , ce qui ne peut avoir lieu qu’en supposant $\gamma =0$ , puisque $a$ et $a'$ sont tous les deux compris entre $0$ et $2h-1$ ; ainsi on a donc $a=a'$ , c’est-à-dire que les deux formes sont identiques.