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ARITHMÉTIQUES.
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donc et .
On a de même, relativement à la forme , et
En substituant ces valeurs de , , , dans la formule précédente, elle se change en la substitution suivante :
d’où a disparu.
Si l’on propose deux formes , improprement équivalentes,
et qu’on demande une transformation impropre de l’une en l’autre,
soit la forme opposée à , et , , , une transformation
propre de en , il est clair que , , , , sera une
transformation impropre de en .
Enfin on voit que si les formes sont proprement et improprement
équivalentes, on pourra trouver de cette manière deux transformations, l’une propre et l’autre impropre.
209. Il ne nous reste plus parconséquent qu’à déduire d’une
seule transformation toutes celles qui lui sont semblables, ce qui
dépend de la solution de l’équation . Mais cette
équation ne peut se résoudre que de deux manières, savoir, en faisant , , ou , . Supposons en effet une
autre solution , où ne soit pas zéro ; comme divise , on aura , et , ainsi que sont
des quarrés entiers ; mais on voit facilement que la différence de
deux quarrés entiers ne peut être à moins que le plus petit ne
soit ; si donc la forme se change en par la transformation , , , , on ne trouvera d’autre transformation semblable
que , , , , et si elles ne sont équivalentes que d’une
manière, il n’y aura que deux transformations ; il y en aura quatre
si elles sont équivalentes des deux manières, savoir, deux propres
et deux impropres.
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