214
RECHERCHES
par la forme ; 2o. si peut être représenté par , la forme
sera renfermée dans ; 3o. si, dans ce cas, la formule ,
donne indéfiniment toutes les représentations du nombre
par la forme ; les transformations de en seront contenues
dans la formule , , , .
Supposons que se change en par la substitution , , , ; en prenant les nombres , , tels qu’on ait ;
si l’on fait , , la valeur de la forme
devient et partant, peut être représenté par ;
2o. Si l’on suppose , il est évident que
par la substitution , , , , la forme se change en .
3o. Pour démontrer que la substitution , , , donne
toutes les transformations de en , si , représentent toutes
les valeurs de qui rendent ; soit , , , une transformation quelconque de en , et, comme plus haut, , parmi les valeurs de seront les suivantes : ,
, qui donneront la substitution
d’où l’on tire
;
;
;
mais comme on a
on en tire au moyen des trois équations qui en dérivent,
;
Or , puisque le déterminant de qui est , est
égal au produit de par le déterminant de qui n’est pas
égal à zéro ; on a donc , et partant, la substitution
en question se réduit à , , , . Ainsi la formule que nous
avons donnée fournit toutes les transformations de en [1].
- ↑ On pourrait encore présenter ces différentes propositions de la manière
suivante.
Si la forme se change en par la substitution , , , , on aura les