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ARITHMÉTIQUES.

ces représentations, et partant, d’essayer si elles donnent pour $x$, $y$ des valeurs fractionnaires ou entières, il est nécessaire d’établir une règle par laquelle on puisse s’assurer, quand cela arrive, qu’il n’y a aucune représentation qui donne des valeurs entières pour $x$, $y$ ; car, sans cette règle, quel que fût le nombre des représentations essayées, on n’arriverait jamais à la certitude, et quand une partie des représentations donne des valeurs entières, et l’autre des valeurs fractionnaires, il faudra savoir distinguer les premières représentations des dernières.

4^o . Quand $b^{2}-ac=0$, les formules précédentes ne déterminent pas les valeurs de $x$, $y$. Ainsi, dans ce cas, il faudra avoir recours à une méthode particulière.

217. Dans le cas où $b^{2}-ac$ est un nombre positif non quarré, nous avons fait voir plus haut que toutes les représentations du nombre $M$ par la forme $(a,b,c)$, s’il y en a quelques-unes, peuvent être données par une ou plusieurs formules telles que

$p={\frac {1}{m}}(At+Bu),\quad q={\frac {1}{m}}(Ct+Du)$ ;

$A$, $B$, $C$, $D$ étant des nombres entiers donnés, $m$ le plus grand diviseur commun des nombres $a$, $2b$, $c$ ; enfin $t$, $u$ des nombres entiers qui satisfont à l’équation $t^{2}-(b^{2}-ac)u^{2}=m^{2}$. Comme les valeurs de $t$, $u$ peuvent être prises positivement et négativement, au lieu des formules précédentes, on peut prendre les quatre suivantes :

$p=$	${\frac {1}{m}}$	$(At+Bu)$,		$q=$	${\frac {1}{m}}$	$(Ct+Du)$ ;
$p=$	${\frac {1}{m}}$	$(At-Bu)$,		$q=$	${\frac {1}{m}}$	$(Ct-Du)$ ;
$p=$	${\frac {1}{m}}$	$(-At+Bu)$,		$q=$	${\frac {1}{m}}$	$(-Ct+Du)$ ;
$p=-$	${\frac {1}{m}}$	$(At+Bu)$,		$q=-$	${\frac {1}{m}}$	$(Ct+Du)$ ;

ensorte que le nombre de toutes les formules soit quatre fois plus grand qu’auparavant, mais que $u$ et $t$ soient positifs ; examinons donc séparément chacune de ces formules, et cherchons quelles sont les valeurs de $t$, $u$ qui donnent des valeurs entières pour $x$, $y$.

La formule

$p={\frac {1}{m}}(At+Bu),\quad q={\frac {1}{m}}(Ct+Du)$……(1)

donne pour $x$ et $y$

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