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RECHERCHES

dite proprement primitive, ou plus simplement forme propre ; mais si $a,$ $c$ sont pairs, les nombres $a,$ $2b,$ $c$ auront $2$ pour commun et même pour plus grand commun diviseur ; alors la forme $(a,b,c)$ sera improprement primitive, ou plus simplement impropre^[1]. Dans ce cas, $b$ sera nécessairement impair, car autrement la forme $(a,b,c)$ ne serait pas primitive ; ainsi l’on aura $b^{2}\equiv 1{\pmod {4}},$ et partant, puisque $ac$ est divisible par $4,$ $b^{2}-ac\equiv 1{\pmod {4}}\,:$ les formes impropres auront donc des déterminans de la forme $4n+1$ ou $-(4n+3),$ suivant qu’ils seront positifs ou négatifs. Mais, par le n^o 161, il est clair que s’il y a dans une classe une forme proprement primitive, toutes les autres le seront, et que de même, une classe qui renferme une forme improprement primitive, n’en renfermera que de cette espèce. Ainsi nous appellerons cette classe, dans le premier cas, proprement primitive ou propre, et dans le second cas, improprement primitive ou impropre. Par exemple, parmi les classes positives de déterminant $-235,$ il y en a six propres, savoir, celles dont les représentantes sont :

$(1,0,235),(4,1,59),(4,-1,59),(5,0,47),(13,5,20),(13,-5,20),$

et autant parmi les classes négatives ; il y en a deux impropres de chaque espèce. Quant aux classes de déterminant $79$, elles sont toutes propres, puisque $79$ est de la forme $4n+3$.

Si la forme $(a,b,c)$ est dérivée de la forme primitive $\left({\frac {a}{m}},{\frac {b}{m}},{\frac {c}{m}}\right)$, cette dernière peut être propre ou impropre. Dans le premier cas $m$ dans le second $2m$, sera le plus grand commun diviseur des nombres $a$, $2b$, $c$, ce qui fait entendre la distinction entre une forme dérivée d’une forme proprement primitive, et une forme dérivée d’une forme improprement primitive, et partant (n^o 161) entre une classe dérivée d’une classe proprement primitive, et une classe dérivée d’une classe improprement primitive.

1. Nous ne nous sommes servis de ces termes de propre et d’impropre qu’à défaut d’autres plus convenables, car ils n’ont aucun rapport avec ceux que nous avons employés depuis le n^o 157. Au reste, il n’y a pas à craindre qu’on puisse les confondre.