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RECHERCHES

$(gx+hy)^{2}\equiv ax^{2}+2bxy+cy^{2}{\pmod {m}}$, et partant on peut dire que la forme $F$ est résidu de $m$, et que $hx+hy$ est la valeur de l’expression ${\sqrt {ax^{2}+2bxy+cy^{2}}}{\pmod {m}}$, ce que nous exprimerons plus simplement en écrivant que $(g,h)$ est une valeur de ${\sqrt {F}}{\pmod {m}}$ ; plus généralement, si un nombre $M$ premier avec $m$ est tel qu’on ait $g^{2}\equiv Ma$, $gh\equiv Mb$, $h^{2}\equiv Mc{\pmod {m}}$, nous dirons que $MF$ est résidu de $m$ et $(g,h)={\sqrt {MF}}{\pmod {m}}$. Ainsi, par exemple, la forme $(3,1,54)$ est résidu quadratique de $23$, et $(7,10)$ est la valeur de ${\sqrt {(3,1,54)}}{\pmod {m}}$. De même $(2,-4)$ est la valeur de l’expression ${\sqrt {5(10,3,17)}}{\pmod {23}}$.

On verra plus bas l’usage de ces expressions ; ici nous ferons les remarques suivantes :

1^o. Si $M(a,b,c)$ est résidu quadratique de $m$, $m$ divisera le déterminant de la forme $(a,b,c)$ ; en effet, puisqu’on a $g^{2}\equiv aM$, $gh\equiv bM$, $h^{2}\equiv cM{\pmod {m}}$, on en tire

$b^{2}M^{2}-acM^{2}=(b^{2}-ac)M^{2}\equiv 0{\pmod {m}}$

Mais comme $M$ est premier avec $m$, il s’ensuit donc que $b^{2}-ac$ est divisible par $m$.

2^o. Si $M(a,b,c)$ est résidu de $m$ et que $m$ soit un nombre premier, ou une puissance d’un nombre premier, $p^{\mu }$, par exemple, le caractère particulier de la forme $(a,b,c)$, à l’égard du nombre $p$, sera $R.p$ ou $N.p$, suivant que $M$ sera résidu ou non-résidu de $p$. En effet, $aM$ et $cM$ sont résidus de $p$, et il y a au moins un des nombres $a$, $c$ qui n’est pas divisible par $p$ (n^o 230) ; donc si $M$ est résidu ou non-résidu, un des deux nombres $a$ et $c$ le sera aussi.

De même, si toutes choses d’ailleurs égales, $m=4$ le caractère particulier de la forme $(a,b,c)$ sera $1,4$ ou $3,4$ suivant que l’on aura $\equiv$ ou $\equiv 3{\pmod {4}}$ ? et si $m=8$ ou une plus haute puissance de $2$, le caractère particulier de la forme $(a,b,c)$ sera $1,8$ ; $3,8$ ; $5,8$ ; $7,8$, suivant que $M\equiv 1$ ; $3$ ; $5$ ; $7{\pmod {8}}$.

3^o. Réciproquement si $m$ est un nombre premier ou une puissance d’un nombre premier $\equiv p^{\mu }$ qui divise $b^{2}-ac$ et que $M$ soit résidu ou non-résidu de $p$, suivant que le caractère par-