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ARITHMÉTIQUES.
ticulier de la forme , à l’égard du nombre , est
ou respectivement, sera résidu de . En effet,
quand n’est pas divisible par , sera résidu de , et partant de lui-même ; si donc est une valeur de l’expression
et que soit une valeur de , on
aura , , et partant et ;
enfin , d’où ;
donc est une valeur de l’expression . Mais
quand est divisible par , comme alors ne l’est sûrement
pas, on voit qu’on arrivera au même résultat, en prenant
et .
On démontre de la même manière, que si qu’il divise
, et qu’on prenne le nombre ou , suivant que
le caractère particulier de la forme est ou ,
sera résidu de , et que ou une plus haute puissance de ,
par laquelle soit divisible, et que l’on prenne ;
; ; , suivant que le caractère particulier de la
forme le demande, sera résidu de .
4o. Si le déterminant de la forme est , et que
soit résidu de , tous les caractères particuliers de
la forme, tant à l’égard des diviseurs premiers de , qu’à
l’égard des nombres et , s’ils sont diviseurs de , peuvent
se connaître sur-le-champ par le nombre . Ainsi, par exemple,
comme est résidu de , c’est-à-dire que
est une valeur de l’expression , et qu’on
a et ; les caractères de la forme sont
; ; . Les caractères, relatifs à et à , toutes les
fois que ces nombres ne divisent pas , sont les seuls qui ne dépendent pas nécessairement du nombre .
5o. Réciproquement, si le nombre premier avec renferme tous les caractères particuliers de la forme excepté ceux relatifs à et à , quand ces nombres ne divisent pas , sera résidu de . En effet, par ce qui a été dit (3o.), il est clair qu’en mettant sous la forme … , , , etc.