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RECHERCHES

soit premier avec $a'$ ; on trouvera une forme composée de ces deux-là en faisant $A=aa'$, $B\equiv b{\pmod {a}}$ et $\equiv b'{\pmod {a'}}$, $C={\frac {B^{2}-D}{A}}$. Ce cas aura toujours lieu quand l’une des formes à composer est une forme principale, c’est-à-dire qu’on a $a=1$, $b=0$, $c=-D$. On aura alors $A=a'$, $B$ pourra être pris $=b'$, d’où l’on tirera $C=c'$ ; donc une forme quelconque est toujours composée d’elle-même et de la forme principale de même déterminant.

2^o. Si deux formes opposées proprement primitives doivent être composées, par exemple, $(a,b,c)$ et $(a,-b,c)$, on aura d’où l’on voit facilement que la forme principale $(1,0,-D)$ est composée de ces deux formes.

3^o. Étant données tant de formes qu’on voudra $(a,b,c),$ $(a',b',c'),$ $(a'',b'',c''),$ etc., proprement primitives et de même déterminant $D,$ et dont les premiers termes $a,$ $a',$ $a'',$ etc. soient des nombres premiers entre eux, on trouvera une forme $(A,B,C)$ composée de celles-là, en prenant $A$ égal au produit des nombres $a,$ $a',$ $a'',$ etc., $B$ congru aux nombres $b,$ $b',$ $b'',$ etc., suivant les modules $a,$ $a',$ $a'',$ etc. respectivement, et $C={\frac {B^{2}-D}{A}}.$ En effet, on voit facilement que $\left(aa',B,{\frac {B^{2}-D}{aa'}}\right)$ est composée des formes $(a,b,c),$ $(a',b',c'),$ que $\left(aa'a'',B,{\frac {B^{2}-D}{aa'a''}}\right)$ est composée de cette dernière et de $(a'',b'',c''),$ etc.

4^o. Réciproquement, étant donnée une forme proprement primitive $(A,B,C)$ de déterminant $D,$ si l’on décompose le nombre $A$ en facteurs premiers entre eux $a,$ $a',$ $a'',$ etc., et que l’on prenne les nombres $b,$ $b',$ $b'',$ etc. égaux à $B,$ ou du moins congrus à $B,$ suivant les modules $a,$ $a',$ $a'',$ etc., $c={\frac {b^{2}-D}{a}},$ $c'={\frac {b'^{2}-D}{a'}},$ $c''={\frac {b''^{2}-D}{a''}},$ etc., la forme $(A,B,C)$ sera composée des formes $(a,b,c),$ $(a',b',c'),$ $(a'',b'',c''),$ etc., ou sera décomposable en ces différentes formes. On prouve sans peine que la même proposition a lieu également quand même la forme $(A,B,C)$ serait improprement primitive ou dérivée. De cette manière on pourra décomposer toute forme en d’autres de même déterminant, dont

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