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RECHERCHES

genre que $f'$, la forme composée de $g$, $g'$ appartient au même genre que la forme composée. On voit par là ce que signifie un genre composé de deux ou de plusieurs autres genres. Or on voit encore que si $f$, $f'$ ont le même déterminant, que $f$ soit une forme d’un genre principal, et que $F$ soit composée de $f$, $f'$, $F$ sera du même genre que $f'$, et qu’ainsi le genre principal peut toujours être omis dans la composition avec les autres genres de même déterminant. Si, toutes choses d’ailleurs égales, $f$ n’est pas du genre principal, et que $f'$ soit une forme primitive, $F$ sera certainement d’un autre genre que $f'$. Enfin si $f$, $f'$ sont des formes proprement primitives de même genre, $F$ sera du genre principal (n^o 243 (2^o.) et n^o 230, à la fin). Si donc une forme proprement primitive quelconque est composée avec elle-même, la forme qui résulte de la composition, et qui sera proprement primitive et de même déterminant, sera du genre principal ; mais si $f$ et $f'$ sont toutes deux proprement primitives, de même déterminant et de genre différent, $F$ ne pourra pas appartenir au genre principal.

248. Problème. Étant proposées deux formes quelconques $\mathrm {f} ,$ $\mathrm {f'}$ dont $\mathrm {F}$ est composée ; déterminer le genre de $\mathrm {F}$ d’après ceux de $\mathrm {f} ,$ $\mathrm {f'} .$

Soit $f=(a,b,c),\,f'=(a',b',c'),\,F=(A,B,C),\,\mu$ le plus grand commun diviseur des nombres $a$, $b$, $c$, $\mu '$ celui des nombres $a'$, $b'$, $c'$, de manière que $f$ et $f'$ soient dérivées des formes primitives $\left({\frac {a}{\mu }},{\frac {b}{\mu }},{\frac {c}{\mu }}\right)$, $\left({\frac {a'}{\mu '}},{\frac {b'}{\mu '}},{\frac {c'}{\mu '}}\right)$, que nous désignerons par $\varphi$, $\varphi '$ ; cela posé, s’il y a au moins une des formes $\varphi$, $\varphi '$ qui soit proprement primitive, le plus grand commun diviseur des nombres $A$, $B$, $C$ sera $\mu \mu '$, et $F$ sera dérivée de la forme primitive $\left({\frac {A}{\mu \mu '}},{\frac {B}{\mu \mu '}},{\frac {C}{\mu \mu '}}\right)=\Phi$, et le genre de $F$ dépendra de celui de $\Phi$ ; mais on voit facilement que $\Phi$ se change en $\varphi \varphi '$ par la même substitution qui change $F$ en $ff'$, et que parconséquent $\Phi$ est composée de $\varphi$, $\varphi '$ ; donc on pourra déterminer son genre par le problème du n^o 246.

Mais si $f$ et $f'$ sont improprement primitives, le plus grand commun diviseur des nombres $A$, $B$, $C$ sera $2\mu \mu '$, et la forme $\Phi$,

qui