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RECHERCHES

La forme $f^{IV}$ ne peut être soumise à l’une ni à l’autre des deux réductions.

274. Quand on a une forme ternaire dont le premier coefficient, ainsi que le troisième de la forme adjointe, sont abaissés autant que possible par la méthode précédente, on obtiendra comme il suit une plus grande réduction.

En conservant toujours la notation du n^o 172, et posant $\alpha =1$, $\alpha '=0$, $\beta '=1$, $\alpha ''=0$, $\beta ''=0$,$\gamma ''=1$, c’est-à-dire en employant la substitution

$1,\ \beta ,\ \gamma \ ;\qquad 0,\ 1,\ \gamma '\ \qquad 0,\ 0,\ 1,$

on aura

$m$	$=a$,
$m'$	$=a'+2b''\beta +a\beta ^{2}$,
$m''$	$=a''+2b\gamma '+2b'\gamma +a\gamma ^{2}+2b''\gamma \gamma '+a'\gamma '^{2}$ ;
$n$	$=b+a'\gamma '+b'\beta +b''(\gamma +\beta \gamma ')+a\beta \gamma$,
$n'$	$=b'+a\gamma +b''\gamma '$,
$n''$	$=b''+a\beta$

et en outre $M''=A''$, $N=B-A''\gamma '$, $N'=B'-A''\gamma -N\beta$.

Ainsi, par cette substitution les coefficiens $a$, $A''$, qui sont déjà réduits, ne changeront pas ; il ne reste plus qu’à diminuer les autres coefficiens en déterminant convenablement les valeurs de $\beta$, $\gamma$, $\gamma '$.

Observons d’abord que si l’on a $A'=0$, on doit avoir aussi $a=0$ ; car si a n’était pas $=0$, la première réduction serait encore applicable, puisqu’à toute forme de déterminant $=0$ répond une forme équivalente telle que $(0,0,h)$ (n^o 215), et dont parconséquent le premier terme $=0$. De la même manière, si $a=0$, on aura $A'=0$, ainsi les deux nombres $a$ et $A$ seront tous deux nuls, ou aucun des deux ne le sera.

Dans le second cas, il est évident que $\beta$, $\gamma$, $\gamma '$ peuvent être déterminés de manière que $n''$, $N$, $N'$ ne soient pas plus grands que ${\frac {1}{2}}a$, ${\frac {1}{2}}A''$, ${\frac {1}{2}}A''$ respectivement. Ainsi dans le premier exemple du n^o précédent, la dernière forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&257,&2\\1,&0,&16\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, qui a pour adjointe ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-513,&-2,&-1\\1,&-16,&32\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, se change, par la substitution

$1,\ -16,\ 16\ ;\qquad 0,\ 1,\ -1\ \qquad 0,\ 0,\ 1,$

en la forme $f^{IV}={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&1,&1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, qui a pour adjointe ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-1,&-1,&-1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}.\end{array}}$