Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/339

317

ARITHMÉTIQUES.

Dans le premier cas, où $a=A''=0$, et partant $b''=0$, on aura

$m=0$, —$m'=a'$, —$m''=a''+2b\gamma '+2b'\gamma +a'\gamma '^{2}$,

$n=b+a'\gamma '+b'\beta$, —$n'=b'$, —$n''=0$,

ce qui donne $D=a'b'^{2}=m'n'^{2}$. Or on voit facilement que l’on peut prendre $\beta$ et $\gamma '$ de manière que $n$ soit le résidu minimum absolu de $b$, suivant le plus grand diviseur commun des nombres $a'$, $b'$, c’est-à-dire, que $n$ ne soit pas plus grand que la moitié de ce commun diviseur, abstraction faite du signe, et partant $n=0,$ toutes les fois que $a'$ et $b'$ sont premiers entre eux ; $\beta$ et $\gamma '$ étant ainsi déterminés, on pourra prendre $\gamma$ tel que $m''$ ne soit pas $>b'$, à moins que l’on n’eût $b'=0$ ; mais alors on aurait $D=0$ ; cas que nous avons exclu. Ainsi, dans le second exemple, on a pour la dernière forme $n=-2-\beta +2\gamma '$, et en faisant $\beta =0$, $\gamma '=1$ il vient $n=0$, partant $m''=2-2\gamma$ et $m''=0$ en faisant $\gamma =1$. Ainsi, par la substitution

$1,\ -2,\ 1\ ;\qquad 0,\ 1,\ 0\ ;\qquad 0,\ 0,\ 1,$

cette forme se change en ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&2,&0\\0,&-1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}=f^{V}$.

275. Si l’on a une suite de formes ternaires équivalentes $f''$, $f'''$, etc., et les transformations de chacune d’elles en la suivante, des transformations de $f$ en $f'$ et de $f'$ en $f$ on déduira (n^o 270) celle de $f$ en $f''$, de cette dernière et de la transformation de $f''$ en $f'''$, on déduira celle de $f$ en $f'''$, etc. Ainsi , de cette manière on aura la transformation de $f$ en une forme quelconque de cette suite ; et comme (n^os 268, 269) on déduit de la transformation d’une forme quelconque $f$ en une autre $g$, la transformation de $g$ en $f$, on pourra obtenir la transformation d’une forme quelconque de la suite, en la première $f$.

Ainsi, pour les formes du premier exemple on trouve les substitutions

$13$,	$14$,	$0$ ;——	$6$,	$2$,	$-7$ ;——	$-9$,	$-3$,	$11$…
$13$,	$188$,	$-4$ ;——	$6$,	$87$,	$-2$ ;——	$-9$,	$-130$,	$3$…
$13$,	$-20$,	$16$ ;——	$6$,	$-9$,	$7$ ;——	$-9$,	$14$,	$-11$,..

par lesquelles $f'$ se change en $f''$, $f'''$, $f^{IV}$, et de la dernière on déduit la suivante :