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RECHERCHES

$1,\ 4,\ 4\,;\quad 3,\ 1,\ 5\,;\quad 3,\ -2,\ 3,$

par laquelle $f^{IV}$ se change en $f'$.

De la même manière, pour l’exemple 2 du n^o précédent, on trouve les substitutions

$1$,	$-1$,	$1$ ;——	$-3$,	$4$,	$-3$ ;——	$10$,	$-14$,	$11$…
$2$,	$-3$,	$-1$ ;——	$3$,	$1$,	$0$ ;——	$2$,	$4$,	$1$…

par lesquelles la forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}10,&26,&2\\7,&0,&4\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ se change en ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&2,&0\\0,&-1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, et cette dernière en la première respectivement.

276. Théorème. Le nombre des classes en lesquelles peuvent se distribuer les formes ternaires de déterminant donné, est toujours fini.

I. Le nombre de toutes les formes ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}a,&a',&a''\\b,&b',&b''\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ de déterminant donné $D$, dans lesquelles on a $a=0$, $b''=0$, $b$ non plus grand que la moitié du plus grand commun diviseur entre $a'$ et $b'$ et $a''$ non plus grand que $b'$, est nécessairement toujours fini. En effet, puisqu’on a dans ce cas $D=a'b'^{2}$, on ne pourra prendre pour $b'$ que $+1$, $-1$ et les racines des quarrés qui peuvent diviser $D$, s’il y en a d’autres que $1$, prises positivement ou négativement, et le nombre de ces valeurs est fini ; or, pour chaque valeur de $b'$, celle de $a'$ est déterminée, et celles de $b$, $a''$ sont évidemment limitées.

II. Il n’y aura de même qu’un nombre fini de formes ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}a,&a',&a''\\b,&b',&b''\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ de déterminant $D$, dans lesquelles $a$ n’est ni $=0$ ni $>{\frac {4}{3}}{\sqrt[{3}]{\pm D}}$, $b''^{2}-aa'=A'',$ ni $=0$, ni $>{\frac {4}{3}}{\sqrt[{3}]{D^{2}}}$, $b''$ non plus grand que ${\frac {1}{2}}a$, $ab-b'b''=B$ et $a'b'-bb''=B'$ non plus grands que ${\frac {1}{2}}A''$. Car le nombre des combinaisons des valeurs de $a$, $b''$, $A''$, $B$, $B'$ sera nécessairement fini, et en les supposant déterminés, les autres coefficiens $a'$, $b$, $b'$, $a''$ de la forme et les coefficiens $A=b^{2}-a'a''$, $A'=b'^{2}-aa''$, $B''=a''b''-bb'$ de la forme adjointe seront déterminés par les équations

$a'={\frac {b''^{2}-A''}{a}}$, —$A'={\frac {B^{2}-aD}{A''}}$, —$A={\frac {B'^{2}-a'D}{A''}}$, —$B''={\frac {BB'+b''D}{A''}},$