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ARITHMÉTIQUES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$b={\frac {AB-B'B''}{D}}=-{\frac {Ba'+B'b''}{A''}}$,

$b'={\frac {A'B'-BB''}{D}}=-{\frac {Bb''+B'a}{A''}}$,

$a''={\frac {b'^{2}-A'}{a}}={\frac {b^{2}-A}{a'}}={\frac {bb'+B''}{b''}}$

Maintenant, comme toutes ces formes s’obtiennent en choisissant parmi toutes les combinaisons de $a$, $b''$, $A''$, $B$, $B'$ celles qui donnent des valeurs entières pour $a'$, $a''$, $b$, $b'$, leur nombre sera nécessairement fini.

III. Toutes les formes dont nous venons de parler (I et II) constituent un nombre de classes qui sera moindre que celui de ces formes, s’il s’en trouve parmi elles d’équivalentes. Or comme il suit de l’analyse précédente que toute forme ternaire de déterminant $D$ est nécessairement équivalente à l’une de ces formes, les classes qu’elles déterminent renfermeront toutes les formes de déterminant $D$, c’est-à-dire que toutes les formes de déterminant $D$ peuvent se distribuer en un nombre fini de classes.

277. Les règles par lesquelles toutes les formes de I et II peuvent se former, suivent naturellement de ce qui a été dit dans l’article précédent 3 ainsi il suffira d’en donner quelques exemples.

Pour $D=1$, les formes (I) produisent les six suivantes, par l’ambiguïté des signes, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&1,&0\\0,&\pm 1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&1,&\pm 1\\0,&\pm 1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ ; dans les formes II, $a$ et $A''$ ne peuvent avoir d’autres valeurs que $+1$ et $-1$, et pour les quatre combinaisons qui en résultent, $b''$, $B$ et $B'$ doivent être posés $=0$, ce qui donne les quatre formes ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&-1,&1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-1,&1,&1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&1,&-1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-1,&-1,&-1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$.

De même, pour $D=-1$, il y a six formes (I)…${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&-1,&0\\0,&\pm 1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&-1,&\pm 1\\0,&\pm 1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, et quatre formes (II)…${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&-1,&-1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-1,&1,&-1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&1,&1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-1,&-1,&1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$.

Pour $D=2$, il y a six formes (I)…${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&2,&0\\0,&\pm 1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&2,&\pm 1\\0,&\pm 1,&0\\\end{pmatrix}},\end{array}}$ et huit formes (II)…${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&-1,&2\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-1,&1,&2\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&1,&-2\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-1,&-1,&-2\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&-2,&1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-1,&2,&1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&2,&-1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-1,&-2,&-1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$