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ARITHMÉTIQUES.

de déterminant $1$ ; or, comme par hypothèse $a$, $b$, $c$ n’ont pas tous les trois le même signe, $f$ est une forme indéfinie, d’où l’on conclut facilement que $g'$ et $g''$ sont aussi des formes indéfinies ; donc $g''$ sera équivalente à la forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&0,&0\\1,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ (n^o 277), et l’on pourra trouver une transformation (S’) de la première en la seconde. Mais d’ailleurs la transformation (S’) change $g'$ en $g''$ ; donc $g''$ sera contenue dans $f$, et de la combinaison des substitutions (S), (S’), on déduira une transformation de $f$ en $g''$. Représentons-la par

$\delta ,\,\delta ',\,\delta ''\,;\quad \epsilon ,\,\epsilon ',\,\epsilon '';\quad \zeta ,\,\zeta ',\,\zeta ''\,;$

il est évident qu’il en résultera deux solutions de l’équation (ω) :

$x=\delta ,\,y=\epsilon ',\,z=\zeta ',\quad {\text{et}}\quad x=\delta '',\,y=\epsilon '',\,z=\zeta ''\,:$

on voit aussi que les valeurs ne peuvent être toutes égales à zéro en même temps, puisque l’on doit avoir

$\delta \epsilon '\zeta ''+\delta \epsilon ''\zeta +\delta ''\epsilon \zeta ''-\delta \epsilon ''\zeta '-\delta '\epsilon \zeta ''-\delta ''\epsilon '\zeta =d.$

Exemple. Soit $7x^{2}-15y^{2}+23z^{2}=0$ l’équation proposée ; elle est résoluble, puisqu’on a $345R7$, $-161R15$, $105R23$, On trouve pour valeurs de $H$, $K$, $L$ les nombres $3$, $7$, $6$, et faisant $h=k=l=1$, on en déduit $A=98$, $B=-39$, $C=-8$. De là résulte la substitution

$3,\,5,\,22\,;\quad -1,\,2,\,28\,;\quad 8,\,25,\,7,$

par laquelle $f$ se change en ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1520,&14490,&-7245\\-2415,&-1246,&4735\\\end{pmatrix}}\end{array}}=g$. On trouve pour la substitution (S)

$7245,\,5,\,22\,;\quad -2415,\,2,\,-28\,;\quad 19320,\,25,\,-7,$

et ${\begin{array}{l}g''={\begin{pmatrix}3670800,&6,&-3\\-1,&-1246,&4735\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ ;

on trouve enfin que $g''$ se change en ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&0,&0\\1,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, par la substitution (S’)

$3,\,5,\,1\,;\quad -2440,\,-4066,\,-813\,;\quad -433,\,-722,\,-144,$

qui, combinée avec (6), donne la suivante :

$9,\,11,\,12\,;\quad -1,\,9,\,-9\,;\quad -9,4,3,$