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ARITHMÉTIQUES.

vient superflu ; car $p^{\mu }$ ne conservant des valeurs de $V$ que celles qui sont ses propres résidus, on est sûr, à plus forte raison, qu’il ne restera plus de non-résidus de $p$, ni d’aucune autre puissance moindre que $p^{\nu }$. Mais si $p$ ou $p^{\nu }$ a été employé avant $p^{\mu }$, ce dernier ne peut rejeter que les valeurs de $V$ qui seraient résidus de $p^{\nu }$ et non-résidus de $p^{\mu }$ ; donc il suffirait de prendre pour $a$, $b$, $c$, etc. ces non-résidus de $p^{\mu }$.

322. Le calcul des nombres $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc. qui répondent à un excluant quelconque donné $E$, s’abrège beaucoup par les observations suivantes. Soient $M$, $N$, $P$, etc. les racines des congruences $my\equiv a$, $my\equiv b$, $my\equiv c$, etc. ${\pmod {E}}$, et $k$ la racine de la congruence $my\equiv -A$, on aura $\alpha \equiv M+k,$ $\beta \equiv N+k$, $\gamma \equiv P+k$, etc. S’il fallait effectivement trouver $M$, $N$, $P$, etc. par la résolution de ces congruences, ce procédé ne serait pas plus abrégé que celui que nous avons indiqué plus haut ; mais cela n’est point nécessaire. En effet, si d’abord $E$ est un nombre premier, et que $m$ soit résidu quadratique de $E$, il est clair, par le n^o 98, que $M$, $N$, $P$, etc., qui sont les valeurs des expressions ${\frac {a}{m}}$, ${\frac {b}{m}}$, ${\frac {c}{m}}$, etc. ${\pmod {E}}$, sont les non-résidus différents de $E$, et par conséquent coïncident avec $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., abstraction faite de l’ordre, qui n’est ici d’aucune importance ; mais si, dans la même hypothèse, $m$ est non-résidu de $E$, les nombres $M$, $N$, $P$, etc. coïncideront avec les résidus quadratiques de $E$, zéro excepté.

Si E est le quarré d’un nombre premier impair $=p^{2}$, et que $p$ ait déjà été employé comme excluant, il suffit, par le n^o précédent, de prendre pour $a$, $b$, $c$, etc. les non-résidus de $p^{2}$ qui sont résidus de $p$, c’est-à-dire, les nombres $p$, $2p$, $3p$, … $(p-1)p$, (ou tous les nombres au-dessous de $p^{2}$ qui sont divisibles par $p$, zéro excepté) ; on voit par-là qu’on doit trouver pour $M$, $N$, $P$, etc. absolument les mêmes nombres, disposés seulement d’une autre manière. De même, si après l’emploi des excluans $p$ et $p^{2}$ on fait $E=p^{3}$ il suffira de prendre pour $a$, $b$, $c$, etc. les produits de chaque non-résidu de $p$ par $p^{2}$, et de là on tirera pour $M$, $N$, $P$, etc., ou les mêmes nombres, ou les produits de $p^{2}$

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