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RECHERCHES

par chacun des résidus de $p$, zéro excepté, suivant que $m$ est résidu ou non-résidu de $p$. Généralement, si l’on prend $E=p^{\mu }$, toutes les puissances inférieures de $p$ ayant été employées, on trouvera pour $M$, $N$, $P$, etc. les produits de $p^{\mu -1}$, par tous les nombres moindres que $p$, zéro toujours excepté, quand $\mu$ est pair, ou par tous les non-résidus de $p$ moindres que $p$, quand $\mu$ est impair et $mRp$, ou par tous les résidus, quand $mNp$.

Si $E=4$ partant $a=2$, $b=3$, on a pour $M$ et $N$, $2$ et $5$ ou $2$ et $1$, suivant que $m\equiv 1$ ou $\equiv 3{\pmod {4}}$. Si après avoir employé $4$, on fait $E=8$, on a $a=5$ ; donc $M$ est $5$, $7$, $1$, $3$, suivant que $m\equiv 1$, $3$, $5$, $7{\pmod {8}}$. Généralement, si $E=2^{\mu }$, les puissances inférieures étant déjà employées, on doit poser $a=2^{\mu -1}$, $b=3.2^{\mu -2}$, quand $\mu$ est pair, d’où il résulte $M=2^{\mu -1}$, $N=3.2^{\mu -2}$ ou $=2^{\mu -2}$ suivant que $m\equiv 1$ ou $\equiv 3$ ; mais quand $\mu$ est impair, on doit poser $a=5.2^{\mu -3}$, d’où il vient $M$ égal au produit de $2^{\mu -3}$ par $5$, $7$, $1$ ou $3$, suivant que $m\equiv 1$, $3$, $5$ ou $7{\pmod {8}}$.

Au reste, les gens instruits trouveront facilement la manière de rejeter mécaniquement les valeurs inutiles de $y$, après qu’on aura calculé les valeurs de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc. pour tant d’excluans qu’il paraîtra nécessaire; mais nous ne pouvons nous y arrêter, ni aux autres artifices par lesquels on peut abréger le travail.

323. Toutes les représentations d’un nombre donné $A$ par la forme binaire $mx^{2}+ny^{2}$, où les solutions de l’équation indéterminée $mx^{2}+ny^{2}=A$, peuvent être trouvées par la méthode exposée Section V, qui semble ne rien laisser à desirer du côté de la brièveté, si l’on a les différentes valeurs de l’expression ${\sqrt {-mn}}$, suivant le module $A$ et suivant $A$ divisé par ses différens facteurs quarrés. Mais nous allons donner ici, pour le cas où mn est positif, une solution beaucoup plus abrégée que la solution directe, lorsqu’il faut pour cette dernière calculer les valeurs dont nous venons de parler. Nous supposerons que les nombres $m$, $n$, $A$ soient positifs et premiers entre eux, parceque