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Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/427

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ARITHMÉTIQUES.

Examinons maintenant si l’on ne pourrait pas employer comme excluans des nombres premiers diviseurs de , et des puissances de ces nombres. Soit la valeur de l’expression , il est clair que l’on a toujours , quelque valeur que l’on prenne pour et que parconséquent pour que l’équation proposée soit possible, il est nécessaire que soit résidu quadratique de . Ainsi, désignant un diviseur quelconque premier impair de , qui, par hypothèse, ne doit diviser ni , ni , ni parconséquent  ; sera résidu de pour une valeur quelconque de , et partant, ni ses puissances ne peuvent être pris pour excluans.

Par une raison semblable, quand est divisible par , il est nécessaire que l’on ait , pour que l’équation proposée soit possible ; donc pour une valeur quelconque de , on aura , et partant, les puissances de ne peuvent servir d’excluans.

Quand est divisible par et non par , on doit par la même raison avoir , et parconséquent la valeur de l’expression est ou  ; désignons-la par . Il est facile de voir que, pour une valeur paire de on a et pour une valeur impaire ; d’où il suit que l’on doit rejeter les valeurs paires quand , et les valeurs impaires quand .

Enfin, quand est divisible par et non par , soit encore la valeur de l’expression , qui sera , , ou , et la valeur de l’expression , qui sera ou . Comme la valeur de est toujours , et partant , si est pair, et , si est impair ; il est clair qu’on doit rejeter toutes les valeurs impaires de , lorsque  ; toutes les valeurs paires, quand et , et quand et , et que les valeurs conservées donnent toutes , c’est-à-dire, résidu de toute puissance de . Quant aux autres cas, savoir, lorsque ou et , lorsque