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RECHERCHES
où tous les coefficiens 
sont entiers et indépendans de 
ainsi qu’on peut le conclure du no précédent ; c’est-à-dire, que les mêmes équations auront lieu
quelle que soit la valeur que l’on donne à 
cette remarque s’étend à l’équation (I), pourvu que 
ne soit pas divisible par 
Supposons maintenant 
si 
était égale à une autre des périodes 
, 
il est évident que l’on pourrait
employer des raisonnemens analogues. Comme le nombre des
équations (I), (II), (III), etc. est 
, les quantités 
dont le nombre est 
pourront être éliminées de manière à
ce qu’on ait une équation telle que
………(Z),
dans laquelle 
sont entiers et ne sont pas tous nuls à-la-fois. Or si 
n’est pas 
il est clair que cette équation donnera pour 
une valeur de la forme annoncée ; ainsi il ne nous reste plus qu’à démontrer que l’on ne peut avoir 
En supposant 
l’équation Z devient
à laquelle ne peut satisfaire au plus qu’un nombre de valeurs de 
Mais comme les équations dont on a tiré Z sont indépendantes de il est clair que l’équation Z elle-même ne dépend pas de , c’est-à-dire qu’elle a lieu pour toute valeur
de entière et non-divisible par Cette équation sera donc satisfaite par les valeurs des 
périodes
d’où il suivrait que les valeurs de deux de ces périodes au moins seraient égales entre elles. Supposons qu’elles contiennent respectivement les racines
