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ARITHMÉTIQUES.
, et dans le second , ; et comme et doivent être entiers, le premier cas aura lieu, c’est-à-dire que
ou se trouvera parmi les non-résidus de lorsque sera impair, c’est-à-dire lorsque sera de la forme ; le second aura lieu au contraire quand sera pair, c’est-à-dire quand sera de la forme . Ainsi, comme on a , et , le produit cherché sera donc, suivant les mêmes circonstances,
, ou , et l’équation sera, dans le premier cas,
,
——qui donne
——,
et dans le second
,
——qui donne
——
Ainsi, quelle que soit la racine que l’on ait prise pour , si l’on désigne par la somme de toutes les racines , ,
, etc., et par celle des racines , , etc., on aura
,
——ou
——
suivant que ou . Il suit facilement de là que étant un nombre entier quelconque non-divisible par , on a
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, |
——ou—— |
, |
|
|
, |
——ou—— |
, |
|
suivant que ou , théorèmes remarquables par leur élégance.
Au reste, nous ferons observer que le signe supérieur a lieu
quand est l’unité, ou plus généralement quand est résidu quadratique de , et le signe inférieur, quand est non-résidu. Ces
théorèmes conservent toute leur élégance, ou plutôt en acquièrent
encore davantage, lorsque est un nombre composé quelconque ; mais nous sommes forcés de supprimer ces recherches qui demanderaient trop de développement, et de les réserver pour une autre occasion.
357. Soit
etc. |
|
——ou—— |
, |
|
l’équation de degré qui donne les racines contenues dans la
N n n